Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x – y + 2z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}; {d_2}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\,\,\). Xét các điểm A, B lần lượt di động trên \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho AB song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AB là đường thẳng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\, – 1;\,2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = \,\,\,\,\,3a\\y = \,\,\,\,1 – a\\z = – 1 + a\end{array} \right.\,\,(a\) là tham số, \(a \in \mathbb{R}\))
Phương trình tham số của đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = \,\,\,\,2 + b\,\\y = \,\,\,\,1 – 2b\\z = – 3 + b\end{array} \right.\,\,(b\) là tham số, \(b \in \mathbb{R}\))
Ta có: \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {3a;\,1 – a;\, – 1 + a} \right); B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {2 + b;\,1 – 2b;\, – 3 + b} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {b – 3a + 2\,;\,a – 2b\,;\,b – a – 2} \right)\).
Theo giả thiết: \(AB\,//\,\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow n \\A,B\, \notin \,\left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {b – 3a + 2} \right) – \left( {a – 2b} \right) + 2\left( {b – a – 2} \right) = 0\\a \ne 0\\b \ne \,\,0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{3a}}{2}\\a \ne 0\\\\b \ne \,\,0\end{array} \right.\).
Suy ra \(B\left( {2 + \frac{{3a}}{2};\,1 – 3a;\, – 3 + \frac{{3a}}{2}} \right)\).
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3a + 2 + \frac{{3a}}{2}}}{2}\\{y_I} = \frac{{1 – a + 1 – 3a}}{2}\\{z_I} = \frac{{ – 1 + a – 3 + \frac{{3a}}{2}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1 + \frac{9}{4}a\\{y_I} = 1 – 2a\\{z_I} = – 2 + \frac{5}{4}a\end{array} \right.\) hay \(I = \left( {1 + \frac{9}{4}a;\,1 – 2a;\, – 2 + \frac{5}{4}a} \right)\).
Suy ra tập hợp điểm I là đường thẳng \(\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{9}{4}a\\y = 1 – 2a\\z = – 2 + \frac{5}{4}a\end{array} \right.\) ( a là tham số, \(a \in {\mathbb{R}^*}\))
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = \left( { – 9;\,8;\, – 5} \right) \Rightarrow \Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 9a\\y = 1 + 8a\\z = – 2 – 5a\end{array} \right.\)
