Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n > 4 ,n thuộc N) , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó, có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng. Tìm n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 201mặt phẳng phân biệt.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiSố cách chọn 3 điểm trong 2n điểm phân biệt đã cho là \( C_{2n}^3\)
Số cách chọn 3 điểm trong n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng là \( C_n^3\)
Số mặt phẳng được tạo ra từ 2n điểm đã cho là \( C_{2n}^3 - C_n^3 + 1\)
Như vậy \(\begin{array}{l} C_{2n}^3 - C_n^3 + 1 = 201 \Leftrightarrow \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{3!\left( {2n - 3} \right)!}} - \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + 1 = 201\\ \Leftrightarrow \frac{{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)}}{6} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 200\\ \Leftrightarrow 2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right) - n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 1200\\ \Leftrightarrow \left( {n - 6} \right)\left( {7{n^2} + 33n + 200} \right) = 0 \Leftrightarrow 7{n^3} - 9{n^2} + 2n - 1200 = 0\\ \Leftrightarrow n = 6 \end{array}\)
