Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\frac{1}{2} \log _{\sqrt{3}}(x+3)+\frac{1}{4} \log _{9}(x-1)^{8}=\log _{3}(4 x)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Điều kiện: }\left\{\begin{array}{l} x \neq 1 \\ x>0 \end{array}\right. \text { . } \\ &\text { Ta có: } \frac{1}{2} \log _{\sqrt{3}}(x+3)+\frac{1}{4} \log _{9}(x-1)^{8}=\log _{3}(4 x) \\ &\Leftrightarrow \log _{3}(x+3)+\log _{3}|x-1|=\log _{3}(4 x) \Leftrightarrow \log _{3}[(x+3) \cdot|x-1|]=\log _{3}(4 x) \\ &\Leftrightarrow(x+3) \cdot|x-1|=4 x\quad(1) . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Nếu } 0<x<1 \text { thì phương trình (1) trở thành }\\ &(x+3) \cdot(1-x)=4 x \Leftrightarrow-x^{2}-6 x+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-3+2 \sqrt{3}(t m) \\ x=-3-2 \sqrt{3}(l) \end{array} .\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Nếu } x>1 \text { thì phương trình (1) trở thành }\\ &(x+3) \cdot(x-1)=4 x \Leftrightarrow x^{2}-2 x-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=3(t m) \\ x=-1(l) \end{array}\right. \text { . } \end{aligned}\)
\(\text { Phương trình đã cho có tập nghiệm là } S=\{-3+2 \sqrt{3} ; 3\} \text { . }\)
\(\text { Vây tổng tất cả các nghiêm của phương trình là } 2 \sqrt{3} \text { . }\)
