Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy này thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tuần là \(C\left( x \right)=100+30x\) (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm). Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần để thu được lợi nhuận nhiều nhất? (Số sản phẩm là số nguyên dương).

Một căn nhà bỏ hoang có dạng hình lập phương cạnh bằng 5m có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kỳ ( có thể mép giữa 2 bức tường,giữa tường với trần nhà, hoặc giữa tường với với nền), rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kỳ 2 con nhện nào nằm cùng trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới ấy (các sợi tơ khung căn và không chùm) là \(\frac{m\sqrt{n}}{p}\) (với \(m,n,p\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)) và \(\frac{m}{p}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(m+n+p\) ?

Trong hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy \(r\left( cm \right)\), chiều cao \(h\left( cm \right)\) nội tiếp hình nón có bán kính đáy \(9\,cm\), chiều cao \(18\,cm\). Tìm giá trị của \(r\) để thể tích của hình trụ là lớn nhất. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của \(cm\))

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Một nguời bình thường với chiều cao \(h\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), nặng \(w\) kilogram có diện tích bề mặt cơ thể \(S\) được mô hình hoá bởi công thức \(S=\frac{1}{60}\cdot {{w}^{0.5}}\cdot {{h}^{0.5}}\) (\({{\text{m}}^{2}}\)) (công thức Mosteller). Một đối tượng có chiều cao bằng 168 cm, nặng 62 kg tham gia một cuộc nghiên cứu về sức khỏe trong 5 năm. Người ta nhận thấy cân nặng của đối tượng quan sát thay đổi với tốc độ \({w}'\left( t \right)=0,02{{t}^{2}}+0,2t\text{ }\!\!~\!\!\text{ kg}/\) năm \(\left( 0\le t\le 5 \right)\) và chiều cao tăng đều mỗi năm \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\). Sau 5 năm quan sát, diện tích bề mặt cơ thề của đối tượng trên tăng thêm bao nhiêu centimet vuông so với ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vi).

Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.

Trong lớp học, màn hình tivi hình chữ nhật có chiều cao 1m được đặt ở độ cao \(1,2m\) so với tầm mắt của học sinh (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí ngồi sao cho góc nhìn lớn nhất (\(\widehat{BOC}\) là góc nhìn). 

Nếu xét học sinh Nam ngồi nhìn thẳng màn hình thì học sinh Nam ngồi bàn thứ mấy nhìn được rõ nhất, biết vị trí ngồi bàn đầu tiên cách tivi \(1,2m\) và mỗi bàn kế tiếp nhau cách nhau \(0,4m\) (giả sử khoảng cách các bàn như nhau).

Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập với 1000 học sinh. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi \(P\left( t \right)\) là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ \(t\) tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virut cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số \(k\ne 0\). Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh. Xác định số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày.

Một nhà máy sản xuất \(\text{ }x\) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm chi phí

\(C\left( x \right)=16\,000+500x-1,6{{x}^{2}}+0,004{{x}^{3}}\) (nghìn đồng).

Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\) và được cho bởi công thức \(p\left( x \right)=1700-7x\) (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Ông Toàn có một mảnh đất phẳng hình elip có độ dài trục lớn bằng \({16}\) m và độ dài trục nhỏ là \({10}\) m. Ông để một dải đất rộng \({8}\) m làm sân, lối đi và dải đất này nhận trục bé của elip làm trục đối xứng đồng thời ông muốn trồnghoa hai bên mảnh đất còn lại. Biết kinh phí để trồng hoa là \({100\,000}\) đồng/m\({^2}\). Hỏi ông Toàn cần bao nhiêu triệu đồng trồng hoa trên phần đất đó (kết quả được làm tròn đến hàng trăm)?

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để kéo giãn lò xo thêm \(x\) mét từ độ dài tự nhiên là \(f\left( x \right)=k.x\left( N \right)\) với \(k\left( N/m \right)\) là độ cứng của lò xo. Một lực \(50N\) được dùng để kéo giãn lò xo từ \(10cm\)đến độ dài \(15cm\). Hỏi cần thực hiện một công là bao nhiêu để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\)?

Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) với \(AB=6\left( dm \right)\), \(AD=8\left( dm \right)\) và cạnh bên bằng \(10\left( dm \right)\). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:

Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b\). Khi đó tổng \(D=3a+6b\) bằng bao nhiêu?

Độ pH của một dung dịch là đại lượng đặc trưng cho mức độ acid, base của một dung dịch. pH liên hệ trực tiếp với nồng độ \({{\text{H}}^{+}}\)thông qua biểu thức sau:

\(\text{pH}=-\text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \left[ {{\text{H}}^{+}} \right] \right).\)

Trong đó: \(\left[ {{\text{H}}^{+}} \right]\left( \text{mol}/\text{L} \right)\): là nồng độ của ion \({{\text{H}}^{+}}\)có trong dung dịch cần xét.

Hơn nữa:

\(\text{pH}=-\text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \frac{{{10}^{-14}}}{\left[ \text{O}{{\text{H}}^{-}} \right]} \right)\).

Trong đó: \(\left[ \text{O}{{\text{H}}^{-}} \right]\left( \text{mol}/\text{L} \right)\): là nồng độ của ion \(\text{O}{{\text{H}}^{-}}\)có trong dung dịch cần xét.

Xét thí nghiệm hóa học dưới đây:

Người ta muốn xác định độ pH của một dung dịch bằng cách trộn \(0,2\left( L \right)\) dung dịch \({{\text{H}}_{2}}\text{S}{{\text{O}}_{4}}\) có \({{\text{n}}_{{{\text{H}}_{2}}\text{S}{{\text{O}}_{4}}}}=0,02\text{ }\!\!~\!\!\text{ mol}\) với \(0,5\left( L \right)\) dung dịch NaOH có \({{\text{n}}_{\text{NaOH}}}=0,06\text{ }\!\!~\!\!\text{ mol}\). Tính độ pH của dung dịch tạo thành (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Có hai xã \(A,\,B\) cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(A{A}'=500m\), \(B{B}'=600m\). Người ta đo được \({A}'{B}'=2200m\) như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \({A}'{B}'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một sợi dây kim loại dài \(60cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh \(a\),  đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính \(r\) 

Nhằm nâng cao cơ sở vật chất cho trường, anh Hùng đang cần đặt hàng làm một chiếc bảng tương tác thông minh hình chữ nhật \(a\times b\) có chức năng cảm ứng để phục vụ cho việc dạy học, biết rằng nếu cả chiều \(b\) đều tăng thêm một nửa thì bảng sẽ có kích thước là 85 inch (quy ước \(1\text{ }inch=2,54cm\) và kích thước ấy được đo bởi đường chéo của màn hình). Tiếp đến anh Hùng muốn phủ lớp chống lóe với 7500 đồng cho mỗi mét vuông trên màn (xem như độ dày của phần phủ là không đáng kể) và 15000 đồng mỗi mét phần silicon được dán ở viền ngoài cùng của màn hình. Vậy tổng số tiền cao nhất anh Hùng có thể bỏ ra để phủ lớp chống lóe và dán silicon là bao nhiêu nghìn đồng? (làm tròn đến phần nguyên).

Theo thống kê tại một nhà máy \(Z\) nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 tổ công nhân đi làm và mỗi tổ công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 tổ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 tổ/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P\left( x \right)=\frac{95{{x}^{2}}+120x}{4}\) với \(x\) là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) cạnh bên bằng \(200\operatorname{m}\), góc \(\widehat{ASB}=15{}^\circ \) bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp \(AEFGHIJKLS\). Trong đó điểm \(L\) cố định và \(LS=40\operatorname{m}\). Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi Nhà máy B đặt đơn hàng bao nhiêu tấn thì nhà máy A thu được lợi nhuận lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm \(A\) trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm \(B\) và cách \(A\) một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là \(30\text{km}/\text{h}\). Nhà địa chất phải đến được điểm \(B\) sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ \(A\) đến \(B\) sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối \(A\) và \(B\) và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc \(50\text{km}/\text{h}\). Thời gian ngắn nhật đề nhà địa chất di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là bao nhiêu phút?

Một ông chủ nhà muốn làm một cái thang cứu hộ khi có nguy hiểm xảy ra. Ông ta muốn làm cái thang để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà. Với hàng rào cao 2,4 mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng 1,5 mét. Chiều dài ngắn nhất của cây thang bao nhiêu mét để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)?