Ông Toàn có một mảnh đất phẳng hình elip có độ dài trục lớn bằng \({16}\) m và độ dài trục nhỏ là \({10}\) m. Ông để một dải đất rộng \({8}\) m làm sân, lối đi và dải đất này nhận trục bé của elip làm trục đối xứng đồng thời ông muốn trồnghoa hai bên mảnh đất còn lại. Biết kinh phí để trồng hoa là \({100\,000}\) đồng/m\({^2}\). Hỏi ông Toàn cần bao nhiêu triệu đồng trồng hoa trên phần đất đó (kết quả được làm tròn đến hàng trăm)?

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm \(A\) trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm \(B\) và cách \(A\) một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là \(30\text{km}/\text{h}\). Nhà địa chất phải đến được điểm \(B\) sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ \(A\) đến \(B\) sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối \(A\) và \(B\) và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc \(50\text{km}/\text{h}\). Thời gian ngắn nhật đề nhà địa chất di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là bao nhiêu phút?

Nhằm nâng cao cơ sở vật chất cho trường, anh Hùng đang cần đặt hàng làm một chiếc bảng tương tác thông minh hình chữ nhật \(a\times b\) có chức năng cảm ứng để phục vụ cho việc dạy học, biết rằng nếu cả chiều \(b\) đều tăng thêm một nửa thì bảng sẽ có kích thước là 85 inch (quy ước \(1\text{ }inch=2,54cm\) và kích thước ấy được đo bởi đường chéo của màn hình). Tiếp đến anh Hùng muốn phủ lớp chống lóe với 7500 đồng cho mỗi mét vuông trên màn (xem như độ dày của phần phủ là không đáng kể) và 15000 đồng mỗi mét phần silicon được dán ở viền ngoài cùng của màn hình. Vậy tổng số tiền cao nhất anh Hùng có thể bỏ ra để phủ lớp chống lóe và dán silicon là bao nhiêu nghìn đồng? (làm tròn đến phần nguyên).

Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(0\,,48\,{{m}^{2}}\). Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(T=AB+\,BC+CD\) là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết chiều rộng phải dưới 1m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một nhà máy sản xuất \(\text{ }x\) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm chi phí

\(C\left( x \right)=16\,000+500x-1,6{{x}^{2}}+0,004{{x}^{3}}\) (nghìn đồng).

Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\) và được cho bởi công thức \(p\left( x \right)=1700-7x\) (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Một ông chủ nhà muốn làm một cái thang cứu hộ khi có nguy hiểm xảy ra. Ông ta muốn làm cái thang để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà. Với hàng rào cao 2,4 mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng 1,5 mét. Chiều dài ngắn nhất của cây thang bao nhiêu mét để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)?

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy \(A\) cung cấp cho nhà máy \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy \(A\) cần bán cho nhà máy \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một người cần xây một nhà kho có mặt tiền mở và sàn hình vuông và có thể tích là \(10000\,{{m}^{3}}\) Biết chi phí thi công sàn là 500 ngàn đồng/\({{m}^{2}}\),  chi phí thi công vách là 800 ngàn đồng/\({{m}^{2}}\),  chi phí thi công phần mái là 1 triệu đồng/\({{m}^{2}}\) Biết tổng chi phí chi phí thi công nhà kho là thấp nhất, khi đó diện tích sàn nhà kho bằng bao nhiêu mét vuông?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(8000\) quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất \(30\) quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là \(200\) nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(192\) nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) cạnh bên bằng \(200\operatorname{m}\), góc \(\widehat{ASB}=15{}^\circ \) bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp \(AEFGHIJKLS\). Trong đó điểm \(L\) cố định và \(LS=40\operatorname{m}\). Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy này thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tuần là \(C\left( x \right)=100+30x\) (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm). Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần để thu được lợi nhuận nhiều nhất? (Số sản phẩm là số nguyên dương).

Theo thống kê tại một nhà máy \(Z\) nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 tổ công nhân đi làm và mỗi tổ công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 tổ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 tổ/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P\left( x \right)=\frac{95{{x}^{2}}+120x}{4}\) với \(x\) là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là \(2,25\) mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là \(3\) mét. Giá thuê mỗi mét vuông là \(150000\) đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là bao nhiêu?

Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính \(20\) cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị cm2 và làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi Nhà máy B đặt đơn hàng bao nhiêu tấn thì nhà máy A thu được lợi nhuận lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.EFGH\) với \(AB=6\left( dm \right)\), \(AD=8\left( dm \right)\) và cạnh bên bằng \(10\left( dm \right)\). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:

Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b\). Khi đó tổng \(D=3a+6b\) bằng bao nhiêu?

Một nguời bình thường với chiều cao \(h\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), nặng \(w\) kilogram có diện tích bề mặt cơ thể \(S\) được mô hình hoá bởi công thức \(S=\frac{1}{60}\cdot {{w}^{0.5}}\cdot {{h}^{0.5}}\) (\({{\text{m}}^{2}}\)) (công thức Mosteller). Một đối tượng có chiều cao bằng 168 cm, nặng 62 kg tham gia một cuộc nghiên cứu về sức khỏe trong 5 năm. Người ta nhận thấy cân nặng của đối tượng quan sát thay đổi với tốc độ \({w}'\left( t \right)=0,02{{t}^{2}}+0,2t\text{ }\!\!~\!\!\text{ kg}/\) năm \(\left( 0\le t\le 5 \right)\) và chiều cao tăng đều mỗi năm \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\). Sau 5 năm quan sát, diện tích bề mặt cơ thề của đối tượng trên tăng thêm bao nhiêu centimet vuông so với ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vi).

Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \(v_0\) (m/s) thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc \(a(t) = v_0t+t^2\) (m/s\(^2\)), trong đó \(t\) là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100 m. Tính vận tốc ban đầu \(v_0\) (m/s) của vật (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập với 1000 học sinh. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi \(P\left( t \right)\) là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ \(t\) tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virut cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số \(k\ne 0\). Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh. Xác định số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày.

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(X\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy\(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).