Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập với 1000 học sinh. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi \(P\left( t \right)\) là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ \(t\) tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virut cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số \(k\ne 0\). Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh. Xác định số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày.

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm \(A\) trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm \(B\) và cách \(A\) một đoạn là 70 km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là \(30\text{km}/\text{h}\). Nhà địa chất phải đến được điểm \(B\) sau 2 giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ \(A\) đến \(B\) sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối \(A\) và \(B\) và cách AB một đoạn 10 km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc \(50\text{km}/\text{h}\). Thời gian ngắn nhật đề nhà địa chất di chuyển từ \(A\) đến \(B\) là bao nhiêu phút?

Theo thống kê tại một nhà máy \(Z\) nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 tổ công nhân đi làm và mỗi tổ công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 tổ công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 tổ/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P\left( x \right)=\frac{95{{x}^{2}}+120x}{4}\) với \(x\) là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(X\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy\(A\) bán cho \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy này thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tuần là \(C\left( x \right)=100+30x\) (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm). Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần để thu được lợi nhuận nhiều nhất? (Số sản phẩm là số nguyên dương).

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để kéo giãn lò xo thêm \(x\) mét từ độ dài tự nhiên là \(f\left( x \right)=k.x\left( N \right)\) với \(k\left( N/m \right)\) là độ cứng của lò xo. Một lực \(50N\) được dùng để kéo giãn lò xo từ \(10cm\)đến độ dài \(15cm\). Hỏi cần thực hiện một công là bao nhiêu để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\)?

Một nguời bình thường với chiều cao \(h\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), nặng \(w\) kilogram có diện tích bề mặt cơ thể \(S\) được mô hình hoá bởi công thức \(S=\frac{1}{60}\cdot {{w}^{0.5}}\cdot {{h}^{0.5}}\) (\({{\text{m}}^{2}}\)) (công thức Mosteller). Một đối tượng có chiều cao bằng 168 cm, nặng 62 kg tham gia một cuộc nghiên cứu về sức khỏe trong 5 năm. Người ta nhận thấy cân nặng của đối tượng quan sát thay đổi với tốc độ \({w}'\left( t \right)=0,02{{t}^{2}}+0,2t\text{ }\!\!~\!\!\text{ kg}/\) năm \(\left( 0\le t\le 5 \right)\) và chiều cao tăng đều mỗi năm \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\). Sau 5 năm quan sát, diện tích bề mặt cơ thề của đối tượng trên tăng thêm bao nhiêu centimet vuông so với ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vi).

Ông Toàn có một mảnh đất phẳng hình elip có độ dài trục lớn bằng \({16}\) m và độ dài trục nhỏ là \({10}\) m. Ông để một dải đất rộng \({8}\) m làm sân, lối đi và dải đất này nhận trục bé của elip làm trục đối xứng đồng thời ông muốn trồnghoa hai bên mảnh đất còn lại. Biết kinh phí để trồng hoa là \({100\,000}\) đồng/m\({^2}\). Hỏi ông Toàn cần bao nhiêu triệu đồng trồng hoa trên phần đất đó (kết quả được làm tròn đến hàng trăm)?

Ông Toàn có một mảnh đất phẳng hình elip có độ dài trục lớn bằng \({16}\) m và độ dài trục nhỏ là \({10}\) m. Ông để một dải đất rộng \({8}\) m làm sân, lối đi và dải đất này nhận trục bé của elip làm trục đối xứng đồng thời ông muốn trồnghoa hai bên mảnh đất còn lại. Biết kinh phí để trồng hoa là \({100\,000}\) đồng/m\({^2}\). Hỏi ông Toàn cần bao nhiêu triệu đồng trồng hoa trên phần đất đó (kết quả được làm tròn đến hàng trăm)?

Một ông chủ nhà muốn làm một cái thang cứu hộ khi có nguy hiểm xảy ra. Ông ta muốn làm cái thang để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà. Với hàng rào cao 2,4 mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng 1,5 mét. Chiều dài ngắn nhất của cây thang bao nhiêu mét để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)?

Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách 300 km để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là \(6\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\). Giả sử vận tốc hơi của cả khi mước đứng yên là \(v\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\) thì năng lượng tiêu hao của cả trong \(t\) giờ cho bởi công thức \(E\left( v \right)=c{{v}^{3}}t\) trong đó \(c\) là hàng số cho trước. \(E\) tính hằng Jun. Tính vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?

Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ.

Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/m²?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(8000\) quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất \(30\) quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là \(200\) nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(192\) nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Giám đốc một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ các buổi trình chiếu. Theo kết quả kinh doanh của mình, ông ta xác định được rằng: nếu giá vé vào cửa là 20 (nghìn đồng) /người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm 1 (nghìn đồng) /người thì sẽ mất 100 khách hàng hoặc giảm đi 1 (nghìn đồng) /người thì sẽ có thêm 100 khách hàng trong số trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại 2 (nghìn đồng) lợi nhuận cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.

Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + HF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) cạnh bên bằng \(200\operatorname{m}\), góc \(\widehat{ASB}=15{}^\circ \) bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp \(AEFGHIJKLS\). Trong đó điểm \(L\) cố định và \(LS=40\operatorname{m}\). Hỏi khi đó cần dùng ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Độ pH của một dung dịch là đại lượng đặc trưng cho mức độ acid, base của một dung dịch. pH liên hệ trực tiếp với nồng độ \({{\text{H}}^{+}}\)thông qua biểu thức sau:

\(\text{pH}=-\text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \left[ {{\text{H}}^{+}} \right] \right).\)

Trong đó: \(\left[ {{\text{H}}^{+}} \right]\left( \text{mol}/\text{L} \right)\): là nồng độ của ion \({{\text{H}}^{+}}\)có trong dung dịch cần xét.

Hơn nữa:

\(\text{pH}=-\text{lo}{{\text{g}}_{10}}\left( \frac{{{10}^{-14}}}{\left[ \text{O}{{\text{H}}^{-}} \right]} \right)\).

Trong đó: \(\left[ \text{O}{{\text{H}}^{-}} \right]\left( \text{mol}/\text{L} \right)\): là nồng độ của ion \(\text{O}{{\text{H}}^{-}}\)có trong dung dịch cần xét.

Xét thí nghiệm hóa học dưới đây:

Người ta muốn xác định độ pH của một dung dịch bằng cách trộn \(0,2\left( L \right)\) dung dịch \({{\text{H}}_{2}}\text{S}{{\text{O}}_{4}}\) có \({{\text{n}}_{{{\text{H}}_{2}}\text{S}{{\text{O}}_{4}}}}=0,02\text{ }\!\!~\!\!\text{ mol}\) với \(0,5\left( L \right)\) dung dịch NaOH có \({{\text{n}}_{\text{NaOH}}}=0,06\text{ }\!\!~\!\!\text{ mol}\). Tính độ pH của dung dịch tạo thành (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Trong hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy \(r\left( cm \right)\), chiều cao \(h\left( cm \right)\) nội tiếp hình nón có bán kính đáy \(9\,cm\), chiều cao \(18\,cm\). Tìm giá trị của \(r\) để thể tích của hình trụ là lớn nhất. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của \(cm\))

Một căn nhà bỏ hoang có dạng hình lập phương cạnh bằng 5m có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kỳ ( có thể mép giữa 2 bức tường,giữa tường với trần nhà, hoặc giữa tường với với nền), rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kỳ 2 con nhện nào nằm cùng trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới ấy (các sợi tơ khung căn và không chùm) là \(\frac{m\sqrt{n}}{p}\) (với \(m,n,p\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)) và \(\frac{m}{p}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(m+n+p\) ?

Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(0\,,48\,{{m}^{2}}\). Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(T=AB+\,BC+CD\) là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết chiều rộng phải dưới 1m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A, các điểm cần phát thư nằm dọc các con dường cần đi quBiết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất có thể là bao nhiêu?