Hai dòng điện thẳng dài đặt song song cùng chiều, cách nhau d = 12cm trong không khí có \(I_2 = I_1= I = 10A \). Xác định cảm ứng từ tổng hợp tại điểm M cách đều I₁ và I₂ một khoảng x. Hãy xác định x để độ lớn cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện gây ra đạt giá trị cực đại. Tính giá trị cực đại đó

A. 3,33.10−5T

B. 3,98.10−6T

C. 5,55.10−4T

D. 4,38.10−6T

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Vật Lý Lớp 11

Chủ đề: Từ trường

Bài: Lực từ - cảm ứng từ

Lời giải:

Báo sai

Giả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẵng hình vẽ, dòng I₁ đi vào tại A, dòng I₂ đi vào tại B. Các dòng điện I₁ và I₂ gây ra tại M các véc tơ cảm ứng từ \( \overrightarrow {{B_1}} \) và \( \overrightarrow {{B_2}} \) có phương chiều như hình vẽ:

Có độ lớn: \( {B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}.\frac{{{I_1}}}{x}\)

+ Từ hình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AH = \frac{{12}}{2} = 6cm = 0,06m\\ HM = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - {{0,06}^2}} \\ \cos \alpha = \frac{{HM}}{{AM}} \end{array} \right.\)

Cảm ứng từ tổng hợp tại M là: \( \overrightarrow B = \overrightarrow {{B_1}} + \overrightarrow {{B_2}} \) có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:

\( B = 2{B_1}\cos \alpha = {2.2.10^{ - 7}}.\frac{{{I_1}}}{x}.\frac{{HM}}{{AM}} = {4.10^{ - 7}}.\frac{{10}}{x}.\frac{{\sqrt {{x^2} - {{0,06}^2}} }}{x} = {4.10^{ - 6}}.\frac{{\sqrt {{x^2} - {{0,06}^2}} }}{{{x^2}}}\)

Nhận thấy, B đạt cực đại khi \( \frac{{\sqrt {{x^2} - {{0,06}^2}} }}{{{x^2}}}\) đạt cực đại:

Ta có:

\( \frac{{\sqrt {{x^2} - {{0,06}^2}} }}{{{x^2}}} = \sqrt {\frac{{{x^2} - {{0,06}^2}}}{{{x^4}}}} = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} = \sqrt {\frac{1}{{{{0,06}^2}}}.\frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{1}{{0,06}}\sqrt {\frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \)

+ Do: \( d < x \to 1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}} > 0\)

+ Áp dụng BĐT cosi \( (\sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2})\) ta có: \( \sqrt {\frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}\left( {1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}} \right)} \le \frac{{\frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}} + 1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}}}}{2} = \frac{1}{2}\)

+ Dấu “ = ” xảy ra khi: \( 1 - \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{{0,06}^2}}}{{{x^2}}} \to x = 6\sqrt 2 {.10^{ - 2}}m\)

+ Khi đó cảm ứng từ tổng hợp do hai dòng điện gây ra đạt giá trị cực đại: \( {B_{\max }} = {4.10^{ - 6}}.\frac{1}{{0,06}}.\frac{1}{2} = {3,33.10^{ - 5}}T\)