Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau \(x=\frac{\lambda }{3}\), sóng có biên độ A, chu kì T. Tại thời điểm t­₁ = 0, có u_M = +3 cm và u_N = – 3 cm. Ở thời điểm t₂ liền sau đó có u_M = +A, biết sóng truyền từ N đến M.  Biên độ sóng A và thời điểm t₂  là

Phương trình sóng của M có dạng: \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}{{\text{u}}_{\text{M}}}=\text{A}\text{.cos}\left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t}+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)\text{.}\)

Phương trình sóng tại N:\({{\text{u}}_{\text{N}}}=\text{A}\text{.cos}\left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t}+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }+\frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }\text{.MN}}{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }} \right)=\text{A}\text{.cos}\left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ t}+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }+\frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)\text{.}\)

Tại thời điểm t₁ = 0, ta có:

    + Tại M: \({{\text{u}}_{\text{M}}}=\text{A}\text{.cos }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\text{3 cm}\text{. (1)}\)

    + Tại N:

\(\text{ }{{\text{u}}_{\text{N}}}=\text{A}\text{.cos}\left( \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }+\frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=-3\text{ cm}\)

    \(\Leftrightarrow \text{A}\text{.}\left[ \text{cos }\!\!\varphi\!\!\text{ }\text{.cos}\frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}-\sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }\text{.sin}\frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right]=-3\text{ cm}\)

\(\Leftrightarrow -\frac{\text{A}\text{.cos }\!\!\varphi\!\!\text{ }}{2}-\frac{\text{A}\sqrt{3}.\sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}{2}=-3\text{ cm}\)

\(\Leftrightarrow -\frac{\text{3}}{2}-\frac{\text{A}\sqrt{3}.\sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }}{2}=-3\text{ cm}\)

\(\Rightarrow \text{A}.\sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\sqrt{3}\text{ cm (2)}\)

Lấy (1)² + (2)², ta có:

  \(\text{ }{{\left( \text{A}\text{.cos }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)}^{2}}+{{\left( \text{A}.\sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)}^{2}}={{3}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{\text{A}}^{2}}\left[ {{\left( \text{cos }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)}^{2}}+{{\left( \sin \text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)}^{2}} \right]=12\)

\(\Leftrightarrow {{\text{A}}^{2}}=12\)

\(\Rightarrow \text{A}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ cm}\text{.}\)

Với \(A=2\sqrt{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \cos \varphi =\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & \sin \varphi =-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{6}+k2\pi .\)

Tại thời điểm t₂:

\(\text{ }{{\text{u}}_{\text{M}}}=\text{A}\text{.cos}\left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }{{\text{t}}_{2}}+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)=\text{A}\)      

\(\Rightarrow \text{cos}\left( \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }{{\text{t}}_{2}}+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ } \right)=1\)

\(\Rightarrow \text{ }\!\!\omega\!\!\text{ }{{\text{t}}_{2}}+\text{ }\!\!\varphi\!\!\text{ }=\text{k }\!\!'\!\!\text{ 2 }\!\!\pi\!\!\text{ }\)

\(\Leftrightarrow \frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{T}}{{\text{t}}_{2}}+\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}+\text{k2 }\!\!\pi\!\!\text{ }=\text{k }\!\!'\!\!\text{ 2 }\!\!\pi\!\!\text{ }\)

\(\Rightarrow {{\text{t}}_{2}}=-\frac{\text{T}}{\text{12}}+\text{(k }\!\!'\!\!\text{ }-\text{k)}\text{.T}\text{.}\)

Lấy \(\text{k }\!\!'\!\!\text{ }-k=1\Rightarrow {{t}_{2}}=-\frac{T}{12}+T=\frac{11T}{12}.\)