Đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+6}\) có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số

Bài: Đường tiệm cận

Lời giải:

Báo sai

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash\{2;3\}\)

+\(\begin{array}{l} \text { Ta có } \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+7}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{4}}}}{x^{2}\left(1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}\right)}=\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{4}}}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}=0 \\ \lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+7}=\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{4}}}}{x^{2}\left(1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}\right)}=\lim \limits _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x^{4}}}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}=0 \end{array}\)

Nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 0

+ Lại có

\(\begin{aligned} &\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+6}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{(x-2)(x-3)}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}(x-3)}=-\infty\\ &\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+6} \text { không tồn tại. } \end{aligned}\)

Nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 2

+ \(\lim\limits _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+6}=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{(x-2)(x-3)}=+\infty\)

\(\lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x^{2}-5 x+6}=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{(x-2)(x-3)}=-\infty\)

Nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x= 3.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.