Cho tam giác ABC thỏa mãn: sinC = cosA + cosB. Tìm mệnh đề đúng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(cos A + \cos B = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ca}} = \frac{{2(a + b)(p - a)(p - b)}}{{abc}}\)
Vậy sin C = cosA + cos B khi và chỉ khi
\(\frac{c}{{2R}} = \frac{{2(a + b)(p - a)(p - b)}}{{abc}}\)
hay \(\frac{{2cS}}{{abc}} = \frac{{2(a + b)(p - a)(p - b)}}{{abc}}\)
Nên \({c^2}[\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right){\;^{2\;}} - {\rm{ }}{c^2}] = {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right)^2}[{\rm{ }}{c^{2\;}} - {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right)^2}]\)
Do đó \({c^{4\;}} = {\rm{ }}({a^{2\;}} - {\rm{ }}{b^2}){\;^2}\)
Suy ra \({a^{2\;}} = {\rm{ }}{b^{2\;}} + {\rm{ }}{c^2}\;\) hoặc \({b^{2\;}} = {\rm{ }}{c^{2\;}} + {\rm{ }}{a^2}\)
Suy ra; tam giác ABC vuông tại A hoặc B.
