Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có 2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi 5 điểm đó là A, B, C, D, E.
Có \( C_4^2 = 6\) đường thẳng không đi qua A nên từ A kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng đó. Tương tự từ B kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng không đi qua B.
Đáng lẽ ra 2 nhóm đường thẳng này cắt nhau tại 6×6=36 điểm (Không kể A, B).
Nhưng vì có \(C_2^3=3\) đường thẳng không đi qua 2 điểm A B, nên 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ A và 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ B đôi một song song với nhau nên số giao điểm của 2 nhóm đường thẳng vuông góc này chỉ còn 36−3=33 điểm.
Có \(C^2_5=10\) cách chọn các cặp điểm, như vậy nên có 330 giao điểm của các đường thẳng vuông góc.
Thế nhưng cứ mỗi 3 điểm như A, B, C, thì 3 đường cao của tam giác này trong số các đường vuông góc đó lại đồng quy tại 1 điểm (thay vì cắt nhau tại 3 điểm) nên số giao điểm giảm đi 2.
Vì có \( C^3_5=10\) tam giác như tam giác ABC nên số giao điểm giản đi 20.
Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường thẳng vuông góc là 330−20=310.
Chọn A.
