Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \text { là }[a ; b]\) Khi đó giá trị của biểu thức \(P=3 a-2 b\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(-2 \leq x \leq 2\) .
Ta có: \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow \frac{2 x+4-4(2-x)}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \geq 0\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow(6 x-4)\left(\frac{1}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{1}{5 \sqrt{x^{2}+1}}\right) \geq 0\\ &\Leftrightarrow(6 x-4)\left[5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})\right] \geq 0\,\,\,(1) \end{aligned}\)
Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x} \text { với }-2 \leq x \leq 2\)
Ta có \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+4}}-\frac{1}{\sqrt{2-x}}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\). Do đó \(f\left(-\frac{2}{3}\right)=2 \sqrt{6} ; f(-2)=4 ; f(2)=2 \sqrt{2}\)
Suy ra \(2 \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2 \sqrt{6}<5\) mà \(5 \sqrt{x^{2}+1} \geq 5 \text { nên } 5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})>0\)
Vậy \((1) \Leftrightarrow 6 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{2}{3}\) .
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là \(S=\left[\frac{2}{3} ; 2\right]\)
Do đó: \(a=\frac{2}{3}, b=2 \text { suy ra } P=3 a-2 b=-2\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y=|f(x)| có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
.png)
-
Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+(m+3) x^{2}+4(m+3) x+m^{3}-m\) đạt cực trị tại \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(-1<x_{1}<x_{2}\)
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
-
Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 2x} \). Khẳng định nào sau đây là đúng
-
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=\frac{x}{x-1}\)
-
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Mênh đề nào dưới đây đúng?
-
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: \(y=\frac{1}{3} m x^{3}-(m-1) x^{2}+3(m-2) x+\frac{1}{6}\) đạt cực trị tại \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1}+2 x_{2}=1\)?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^{3}-3 m x^{2}+(m-1) x+2\) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào là sai?
-
Tìm m để hàm số \(y = x³ - 2mx² + mx + 1 \) đạt cực tiểu tại x=1
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 1\) là:
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^4}\). Điểm cực đại của hàm số là
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-m x^{2}+(2 m-1) x-3\) có cực trị
-
Cho hàm số \(y = – {x^4} + 2{x^2} + 3\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
-
Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – 24x – 26\).
-
Cho \(x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
-
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x + 1}}\) có hai điểm cực trị là x1, x2. Khi đó tích x1x2 bằng
-
Hàm số \(y = - 4{x^3} - 6{x^2} - 3x + 2\) có mấy điểm cực trị
-
Số cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = - 4{{\rm{x}}^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 4\) là
