Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \text { là }[a ; b]\) Khi đó giá trị của biểu thức \(P=3 a-2 b\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(-2 \leq x \leq 2\) .
Ta có: \(\sqrt{2 x+4}-2 \sqrt{2-x} \geq \frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \Leftrightarrow \frac{2 x+4-4(2-x)}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{6 x-4}{5 \sqrt{x^{2}+1}} \geq 0\)
\(\begin{aligned} &\Leftrightarrow(6 x-4)\left(\frac{1}{\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x}}-\frac{1}{5 \sqrt{x^{2}+1}}\right) \geq 0\\ &\Leftrightarrow(6 x-4)\left[5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})\right] \geq 0\,\,\,(1) \end{aligned}\)
Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x} \text { với }-2 \leq x \leq 2\)
Ta có \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+4}}-\frac{1}{\sqrt{2-x}}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\). Do đó \(f\left(-\frac{2}{3}\right)=2 \sqrt{6} ; f(-2)=4 ; f(2)=2 \sqrt{2}\)
Suy ra \(2 \sqrt{2} \leq f(x) \leq 2 \sqrt{6}<5\) mà \(5 \sqrt{x^{2}+1} \geq 5 \text { nên } 5 \sqrt{x^{2}+1}-(\sqrt{2 x+4}+2 \sqrt{2-x})>0\)
Vậy \((1) \Leftrightarrow 6 x-4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{2}{3}\) .
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là \(S=\left[\frac{2}{3} ; 2\right]\)
Do đó: \(a=\frac{2}{3}, b=2 \text { suy ra } P=3 a-2 b=-2\)
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số y = f ( x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Điểm nào sau đây là điểm cực đại của hàm số y = cos 2x + 1?
-
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3x + 5\) là điểm?
-
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = x³ - 3x² + m x + 1\) đạt cực đại tại x = 2
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đạt cực đại tại \(x=\frac{3}{2} ?\)
-
Hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số là:
-
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 3\) có tọa độ điểm cực tiểu là
-
Đồ thị của hàm số y = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x + 1 đạt cực tiểu tại M(x1; y1). Tính tổng x1 + y1
-
Số điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right) = - 5{{\rm{x}}^4}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^2} + 7\) là
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x + 1} \right)\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\). Điểm cực tiểu của hàm số là
-
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\) là:
-
Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{3}{2}{{\rm{x}}^4}{\rm{ - 3}}{{\rm{x}}^2} - 1\) là
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=m x^{4}+\left(m^{2}-9\right) x^{2}+10\) có 3 điểm cực trị.
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{x}}^4} + \frac{3}{2}{{\rm{x}}^2} + 1\) là
-
Số điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right) = - {{\rm{x}}^4}{\rm{ + }}\sqrt 5 {{\rm{x}}^2} + 2\) là
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=m x^{4}+\left(m^{2}-9\right) x^{2}+10\) có 3 điểm cực trị.
-
Cho hàm số y=f(x) có \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^4}\). Điểm cực đại của hàm số là
-
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3+ 3( m-3) x2+ 11- 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C( 0; -1) thẳng hàng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
