Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Tính tích phân xác định $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}}$

$\ln (1 + \sqrt 2 )$

$-\ln (1 + \sqrt 2 )$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Xét hàm số

$f(x) = \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}$ . Ta thấy

$f(-x) = \frac{{2(-x)}}{{\sqrt {{{(-x)}^6} + 1} }} = -\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }} = -f(x)$ . Vậy

$f(x)$ là hàm số lẻ. Do đó, tích phân của hàm số lẻ trên đoạn đối xứng

$[-1, 1]$ bằng 0. Tức là

$\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2xdx}}{{\sqrt {{x^6} + 1} }}} = 0$ .

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 5:

Tính $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{3\cos xdx}}{{4 - \sin x}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đặt

$t = 4 - \sin x \Rightarrow dt = - \cos xdx$ .
Đổi cận:

$x = 0 \Rightarrow t = 4$ ;

$x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 3$ .
Khi đó,

$I = \int\limits_4^3 {\frac{{ - 3dt}}{t}} = 3\int\limits_3^4 {\frac{{dt}}{t}} = 3\left. {\ln t} \right|_3^4 = 3(\ln 4 - \ln 3)$ .

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sin 2x + 2x,\,\,y = 2x,\,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng $\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng

$\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}$ có điểm kỳ dị tại

$x = 9$ . Ta cần xét sự hội tụ tại điểm này.

Ta có thể viết lại tích phân như sau:

$\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \int\limits_0^9 {\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}dx}$

Xét cận trên của tích phân, khi

$x$ tiến gần đến 9, ta có

$x-9 \to 0$ , do đó

$\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}$ tiến đến vô cùng. Để xét sự hội tụ, ta so sánh với hàm

$\frac{1}{{x - 9}}$ . Tuy nhiên, cách này không trực tiếp kết luận được.

Thay vào đó, ta xét tích phân không xác định:

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}$
Đặt

$t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt$ , ta có:

$\int {\frac{{2tdt}}{{t - 3}}} = 2\int {\frac{{t - 3 + 3}}{{t - 3}}dt} = 2\int {\left( {1 + \frac{3}{{t - 3}}} \right)dt} = 2\left( {t + 3\ln \left| {t - 3} \right|} \right) + C = 2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right| + C$
Do đó:

$\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left[ {2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right|} \right]_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left( {2\sqrt b + 6\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| - 6\ln 3} \right)$
Khi

$b \to {9^ - }$ ,

$\sqrt b \to 3$ , do đó

$\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| \to - \infty$ . Vậy tích phân suy rộng này phân kỳ.

Câu 8:

Cho chuỗi $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}$ . Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có chuỗi số dương

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}$ . Ta sẽ so sánh chuỗi này với chuỗi

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2{n^3}} }}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 {n^{3/2}}} }}$ . Vì

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{3/2}}}}}$ hội tụ (chuỗi điều hòa tổng quát với số mũ lớn hơn 1), nên

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 {n^{3/2}}} }}$ cũng hội tụ.

Xét giới hạn:

$\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2{n^3}} }}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{2{n^3}}}{{2n({n^2} + 7)}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 7}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{7}{{{n^2}}}}}} = 1$ .

Vì giới hạn này hữu hạn và khác 0, theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}$ hội tụ.

Câu 9:

Cho chuỗi ${\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}$ . Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Xét chuỗi số

${\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}$ .
Ta có

$\sqrt[n]{{\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}} = \frac{n}{{4n + 1}}$ .
Khi

$n \to \infty$ thì

$\frac{n}{{4n + 1}} \to \frac{1}{4} < 1$ .
Vậy chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn căn Cauchy.

Câu 10:

Định nghĩa nào sau đây đúng về tích phân suy rộng?

Lời giải: