Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-arc\sin \left(x\right)}{\sin \left(x\right)-\tan \left(x\right)}$

Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn điều kiện f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số.

Xét từng phương án:

A. \(f(x) = cos(x)\). Ta có \(f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x)\). Vậy hàm số \(cos(x)\) là hàm chẵn.

B. \(f(x) = sin(2x)\). Ta có \(f(-x) = sin(-2x) = -sin(2x) = -f(x)\). Vậy hàm số \(sin(2x)\) là hàm lẻ.

C. \(f(x) = cos(x) + sin(2x)\). Ta có \(f(-x) = cos(-x) + sin(-2x) = cos(x) - sin(2x)\). Hàm số này không chẵn cũng không lẻ vì \(f(-x) ≠ f(x)\) và \(f(-x) ≠ -f(x)\).

D. \(f(x) = e^x - 1\). Ta có \(f(-x) = e^{-x} - 1\). Hàm số này không chẵn cũng không lẻ vì \(f(-x) ≠ f(x)\) và \(f(-x) ≠ -f(x)\).

Vậy, chỉ có hàm số \(cos(x)\) là hàm chẵn.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \ln \sqrt{x^2 + 1} - \arctan x + x$ trên đoạn [0; 1], ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x - 1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x - 1 + x^2 + 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} = \frac{x(x + 1)}{x^2 + 1}$

2. Tìm các điểm tới hạn:
Giải phương trình $f'(x) = 0$, ta có $x(x + 1) = 0$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = -1$. Vì xét trên đoạn [0; 1], ta chỉ quan tâm đến $x = 0$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:
- $f(0) = \ln \sqrt{0^2 + 1} - \arctan 0 + 0 = \ln 1 - 0 + 0 = 0$
- $f(1) = \ln \sqrt{1^2 + 1} - \arctan 1 + 1 = \ln \sqrt{2} - \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$

4. So sánh các giá trị và kết luận:
So sánh $f(0) = 0$ và $f(1) = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$. Ta cần so sánh $0$ và $\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$.
Ta có $\ln 2 \approx 0.693$, $\frac{1}{2} \ln 2 \approx 0.3465$, và $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
Do đó, $f(1) \approx 0.3465 - 0.785 + 1 \approx 0.6615 > 0$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 1] là $f(0) = 0$.

Để khai triển Maclaurin cấp 5 của hàm số \(f(x) = \frac{x+2}{x+1}\), ta có thể viết lại hàm số như sau:
\[f(x) = \frac{x+1+1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{1+x}\]
Ta biết khai triển Maclaurin của \(\frac{1}{1+x}\) là:
\[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)\]
Do đó, khai triển Maclaurin của \(f(x)\) là:
\[f(x) = 1 + (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)) = 2 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)\]
Vậy đáp án đúng là B.

Để hàm số \(f(x) = \frac{ax + 1}{x^2 + 2}\) có 2 cực trị, ta cần tìm điều kiện của \(a\) sao cho đạo hàm \(f'(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Tính đạo hàm của \(f(x)\):
\[f'(x) = \frac{a(x^2 + 2) - (ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{ax^2 + 2a - 2ax^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-ax^2 - 2x + 2a}{(x^2 + 2)^2}\]

Để \(f(x)\) có 2 cực trị, \(f'(x) = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt. Vì mẫu số \((x^2 + 2)^2 > 0\) với mọi \(x\), ta chỉ cần xét tử số:
\[-ax^2 - 2x + 2a = 0\]

Hay:
\[ax^2 + 2x - 2a = 0\]

Đây là một phương trình bậc hai. Để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:

1. \(a \ne 0\) (để là phương trình bậc hai).
2. \(\Delta > 0\), với \(\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(a)(-2a) = 4 + 8a^2\)

Vì \(4 + 8a^2 > 0\) với mọi \(a\), điều kiện duy nhất là \(a \ne 0\).

Vậy đáp án đúng là A.

Để tìm d²f(1), ta cần tính đạo hàm bậc hai của f(x) rồi thay x = 1 vào.

f(x) = cosh(x² - x³)

f'(x) = sinh(x² - x³) * (2x - 3x²)

f''(x) = cosh(x² - x³) * (2x - 3x²)² + sinh(x² - x³) * (2 - 6x)

f''(1) = cosh(1 - 1) * (2 - 3)² + sinh(1 - 1) * (2 - 6)
= cosh(0) * (-1)² + sinh(0) * (-4)
= 1 * 1 + 0 * (-4) = 1

Vì vậy, d²f(1) = f''(1)dx² = 1dx² = dx²

Vậy đáp án đúng là B.