Tính \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x}\ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} } \right)\]
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x}\ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} } \right)\), ta có thể biến đổi biểu thức như sau:
\begin{aligned}
I &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2x}} \ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) \\
&= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x) - \ln (1 - x)}}{x}
\end{aligned}
Sử dụng khai triển Taylor cho \(\ln(1+x)\) và \(\ln(1-x)\) xung quanh \(x=0\), ta có:
\(\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...\)
\(\ln (1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ...\)
Do đó,
\(\ln (1 + x) - \ln (1 - x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + ...\)
Khi đó,
\begin{aligned}
I &= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + ...}}{x} \\
&= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2 + \frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{5} + ...} \right) \\
&= \frac{1}{2} (2 + 0 + 0 + ...) = 1
\end{aligned}
Vậy, \(I = 1\).
