Tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6x+8}{x^3+2x-4}$

Ta có:

cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2)

Khi x → 0, ln(x) → -∞. Do đó, ta không thể trực tiếp sử dụng khai triển Taylor cho cos(x) và cos(ln(x)) quanh x = 0.
Tuy nhiên, khi x -> 0, ln(x) -> -inf, cos(x) -> 1, cos(ln(x)) dao động từ -1 đến 1.

Xét khai triển Taylor của cos(u) quanh u = 0:
cos(u) = 1 - u^2/2 + o(u^2)

Khi x -> 0:
cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)
cos(ln(x)) = 1 - (ln(x))^2/2 + o((ln(x))^2)

=> cos(x) - cos(ln(x)) = x^2/2 - (ln(x))^2/2 + o(x^2) + o((ln(x))^2)

Tuy nhiên, biểu thức này không tương đương với ax^α khi x → 0.

Một cách tiếp cận khác:
Sử dụng công thức:
cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

Khi x -> 0: cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2)

Vì ln(x) -> -∞ khi x -> 0, việc đánh giá giới hạn này phức tạp.

Nhận thấy không có đáp án nào phù hợp. Vậy đáp án đúng là D. Các câu trên đều sai

Ta có:
\(\sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(-2x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)
\(\sqrt[3]{1-3x^2} = (1-3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)
Do đó:
\(f(x) = \sqrt{1-2x^2} - \sqrt[3]{1-3x^2} = (1 - x^2) - (1 - x^2) + o(x^2) = o(x^2)\)
Để tìm giới hạn chính xác hơn, ta khai triển đến bậc cao hơn:
\(\sqrt{1-2x^2} = 1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\)
\(\sqrt[3]{1-3x^2} = 1 - x^2 - x^4 + o(x^4)\)
\(f(x) = (1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4) - (1 - x^2 - x^4) + o(x^4) = \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\)
Vậy \(f(x) \sim \frac{1}{2}x^4\) khi x → 0. Do đó, a = 1/2 và α = 4.

Ta có:
\begin{align*}f(x) &= \sqrt[3]{x+\sqrt{x^3+x}} - \sqrt[3]{x} \\&= \sqrt[3]{x} \left( \sqrt[3]{1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}} - 1 \right)\\&= \sqrt[3]{x} \left( \left(1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{3}} - 1 \right)\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x+\frac{1}{x}}\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} x^{\frac{5}{6}}\end{align*}
Vậy không có đáp án nào đúng.

Để tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{4+3x^2}$ tại x = 0, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:
$f\left(x\right)={(4+3x^2)}^{1/2}$
$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}{(4+3x^2)}^{-1/2}.6x=\frac{3x}{\sqrt{4+3x^2}}$

2. Tính đạo hàm cấp 2:
$f"\left(x\right)=\frac{3\sqrt{4+3x^2}-3x.\frac{3x}{\sqrt{4+3x^2}}}{4+3x^2}=\frac{3(4+3x^2)-9x^2}{{(4+3x^2)}^{3/2}}=\frac{12}{{(4+3x^2)}^{3/2}}$

3. Tính đạo hàm cấp 3:
$f"\text{'}\left(x\right)=12.(-\frac{3}{2}){(4+3x^2)}^{-5/2}.6x=\frac{-108x}{{(4+3x^2)}^{5/2}}$

4. Tính đạo hàm cấp 4:
$f""\left(x\right)=\frac{-108{(4+3x^2)}^{5/2}-(-108x).\frac{5}{2}{(4+3x^2)}^{3/2}.6x}{{(4+3x^2)}^5}=\frac{-108(4+3x^2)+1620x^2}{{(4+3x^2)}^{7/2}}$

5. Tính f""(0):
$f""\left(0\right)=\frac{-108.4}{4^{7/2}}=\frac{-432}{128}=\frac{-27}{8}$

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.