Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → 0

$f (x) = \sqrt{1 - 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 - 3 x^{2}}$

$a = 2, α = 2$

$a = \frac{1}{2}, α = 2$

$a = \frac{1}{2}, α = 4$

Các câu trên đều sai.

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: $\sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(-2x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)$ $\sqrt[3]{1-3x^2} = (1-3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)$ Do đó: $f(x) = \sqrt{1-2x^2} - \sqrt[3]{1-3x^2} = (1 - x^2) - (1 - x^2) + o(x^2) = o(x^2)$ Để tìm giới hạn chính xác hơn, ta khai triển đến bậc cao hơn: $\sqrt{1-2x^2} = 1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)$ $\sqrt[3]{1-3x^2} = 1 - x^2 - x^4 + o(x^4)$ $f(x) = (1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4) - (1 - x^2 - x^4) + o(x^4) = \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)$ Vậy $f(x) \sim \frac{1}{2}x^4$ khi x → 0. Do đó, a = 1/2 và α = 4.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 4

26 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\begin{align*}f(x) &= \sqrt[3]{x+\sqrt{x^3+x}} - \sqrt[3]{x} \\&= \sqrt[3]{x} \left( \sqrt[3]{1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}} - 1 \right)\\&= \sqrt[3]{x} \left( \left(1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{3}} - 1 \right)\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x+\frac{1}{x}}\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} x^{\frac{5}{6}}\end{align*}
Vậy không có đáp án nào đúng.

Câu 5:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 6:

Tìm đạo hàm cấp 4 của $f (x) = \sqrt{4 + 3 x^{2}}$ tại x = 0 là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số

f (x) = \sqrt{4 + 3 x^{2}}

tại x = 0, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:

f (x) = {(4 + 3 x^{2})}^{1 / 2}

f' (x) = \frac{1}{2} {(4 + 3 x^{2})}^{- 1 / 2} . 6 x = \frac{3 x}{\sqrt{4 + 3 x^{2}}}

2. Tính đạo hàm cấp 2:

f " (x) = \frac{3 \sqrt{4 + 3 x^{2}} - 3 x . \frac{3 x}{\sqrt{4 + 3 x^{2}}}}{4 + 3 x^{2}} = \frac{3 (4 + 3 x^{2}) - 9 x^{2}}{{(4 + 3 x^{2})}^{3 / 2}} = \frac{12}{{(4 + 3 x^{2})}^{3 / 2}}

3. Tính đạo hàm cấp 3:

f "' (x) = 12 . (- \frac{3}{2}) {(4 + 3 x^{2})}^{- 5 / 2} . 6 x = \frac{- 108 x}{{(4 + 3 x^{2})}^{5 / 2}}

4. Tính đạo hàm cấp 4:

f "" (x) = \frac{- 108 {(4 + 3 x^{2})}^{5 / 2} - (- 108 x) . \frac{5}{2} {(4 + 3 x^{2})}^{3 / 2} . 6 x}{{(4 + 3 x^{2})}^{5}} = \frac{- 108 (4 + 3 x^{2}) + 1620 x^{2}}{{(4 + 3 x^{2})}^{7 / 2}}

5. Tính f""(0):

f "" (0) = \frac{- 108.4}{4^{7 / 2}} = \frac{- 432}{128} = \frac{- 27}{8}

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 7:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} - x^{3}}{x - 3}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính giới hạn

\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} - x^{3}}{x - 3}

, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital vì khi thay x = 3 vào, ta được dạng vô định 0/0.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta cần tính đạo hàm của tử và mẫu:

Đạo hàm của tử số là:

\frac{d}{d x} (3^{x} - x^{3}) = 3^{x} \ln (3) - 3 x^{2}

Đạo hàm của mẫu số là:

\frac{d}{d x} (x - 3) = 1

Vậy, giới hạn trở thành:

\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} \ln (3) - 3 x^{2}}{1} = 3^{3} \ln (3) - 3 \cdot 3^{2} = 27 \ln (3) - 27 = 27 (\ln (3) - 1)

Vậy đáp án đúng là A. 27(ln 3 – 1).

Câu 8:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương $a x^{α}$ khi x → 0+

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương với ax^α khi x tiến tới 0+, ta cần phân tích biểu thức f(x) và tìm giới hạn của f(x)/x^α khi x tiến tới 0+.

Ta có:

f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}

f (x) = \sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{1 + \sqrt{x + 1}} - 1)

Sử dụng khai triển Taylor cho

(1 + u)^{n} \approx 1 + n u

khi u tiến tới 0.
Đặt

u = \sqrt{x + 1}

, ta có:

\sqrt[3]{1 + \sqrt{x + 1}} \approx 1 + \frac{1}{3} \sqrt{x + 1} \approx 1 + \frac{1}{3} \sqrt{x}

Do đó,

f (x) \approx \sqrt[3]{x} (1 + \frac{1}{3} \sqrt{x} - 1) = \sqrt[3]{x} . \frac{1}{3} \sqrt{x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3} x^{\frac{5}{6}}

Vậy,

a = \frac{1}{3}

và

α = \frac{5}{6}

Như vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 26:

Số tiệm cận của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\] là

Lời giải: