Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \ln \sqrt {{x^2} + 1} - \arctan x + x\] trên [0;1].
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \ln \sqrt{x^2 + 1} - \arctan x + x$ trên đoạn [0; 1], ta thực hiện các bước sau:
1. **Tính đạo hàm của hàm số:**
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x - 1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x - 1 + x^2 + 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} = \frac{x(x + 1)}{x^2 + 1}$
2. **Tìm các điểm tới hạn:**
Giải phương trình $f'(x) = 0$, ta có $x(x + 1) = 0$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = -1$. Vì xét trên đoạn [0; 1], ta chỉ quan tâm đến $x = 0$.
3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:**
- $f(0) = \ln \sqrt{0^2 + 1} - \arctan 0 + 0 = \ln 1 - 0 + 0 = 0$
- $f(1) = \ln \sqrt{1^2 + 1} - \arctan 1 + 1 = \ln \sqrt{2} - \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$
4. **So sánh các giá trị và kết luận:**
So sánh $f(0) = 0$ và $f(1) = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$. Ta cần so sánh $0$ và $\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$.
Ta có $\ln 2 \approx 0.693$, $\frac{1}{2} \ln 2 \approx 0.3465$, và $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
Do đó, $f(1) \approx 0.3465 - 0.785 + 1 \approx 0.6615 > 0$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 1] là $f(0) = 0$.
