Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos 3x} \right)^{{{\cot }^2}x}}\]

Để tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x}\ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} } \right)\), ta có thể biến đổi biểu thức như sau:

\begin{aligned}
I &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2x}} \ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) \\
&= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x) - \ln (1 - x)}}{x}
\end{aligned}

Sử dụng khai triển Taylor cho \(\ln(1+x)\) và \(\ln(1-x)\) xung quanh \(x=0\), ta có:

\(\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...\)
\(\ln (1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ...\)

Do đó,

\(\ln (1 + x) - \ln (1 - x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + ...\)

Khi đó,

\begin{aligned}
I &= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + ...}}{x} \\
&= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2 + \frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{5} + ...} \right) \\
&= \frac{1}{2} (2 + 0 + 0 + ...) = 1
\end{aligned}

Vậy, \(I = 1\).

Để tìm khai triển Taylor của hàm số \(f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}\) đến bậc 2 tại \(x_0 = 1\) với phần dư Peano, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính các đạo hàm:
- \(f(x) = x^{-1/3}\)
- \(f'(x) = -\frac{1}{3}x^{-4/3}\)
- \(f''(x) = \frac{4}{9}x^{-7/3}\)

2. Tính giá trị của các đạo hàm tại \(x_0 = 1\):
- \(f(1) = 1^{-1/3} = 1\)
- \(f'(1) = -\frac{1}{3}(1)^{-4/3} = -\frac{1}{3}\)
- \(f''(1) = \frac{4}{9}(1)^{-7/3} = \frac{4}{9}\)

3. Viết khai triển Taylor đến bậc 2:
\[f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + o((x-1)^2)\]
Thay các giá trị đã tính vào, ta được:
\[f(x) = 1 - \frac{1}{3}(x-1) + \frac{\frac{4}{9}}{2}(x-1)^2 + o((x-1)^2)\]
\[f(x) = 1 - \frac{1}{3}(x-1) + \frac{2}{9}(x-1)^2 + o((x-1)^2)\]

Vậy, khai triển Taylor của hàm số \(f(x)\) đến bậc 2 tại \(x_0 = 1\) với phần dư Peano là:
\[f(x) = 1 - \frac{1}{3}(x-1) + \frac{2}{9}(x-1)^2 + o((x-1)^2)\]

So sánh với các đáp án, ta thấy đáp án C phù hợp.

Ta có:

$x\text{'}\left(t\right)=-4\sin \left(t\right)+4\sin \left(2t\right)$



Suy ra: $y\text{'}\left(x\right)=\frac{y\text{'}\left(t\right)}{x\text{'}\left(t\right)}=\frac{4\cos \left(t\right)-4\cos \left(2t\right)}{-4\sin \left(t\right)+4\sin \left(2t\right)}$

Tại $t=\frac{\pi }{2}$ thì $y\text{'}\left(2\right)=\frac{4\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)-4\cos \left(\pi \right)}{-4\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+4\sin \left(\pi \right)}=\frac{0+4}{-4+0}=-1$

Ta có khai triển Maclaurin của các hàm số cơ bản sau:

* $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
* $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^3)$
* $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + o(u^2)$

Khi đó:

$\sqrt{1 + \sin(x)} = \sqrt{1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x - \frac{x^3}{6})^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{x^3}{12} - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3)$

$\sqrt{1 + \sin(x)} - \cos(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 - (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)) = \frac{1}{2}x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{8})x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)$

Vậy, khai triển Maclaurin của $f(x)$ đến $x^3$ là $\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)$. Tuy nhiên, không có đáp án nào chính xác hoàn toàn. Đáp án gần đúng nhất là A. Tuy nhiên, hệ số của x^3 là -1/12 chứ không phải -1/48.

Đáp án A bị sai hệ số của x^3. Đáp án D sai hệ số của x^3. Đáp án B sai hệ số của x^2. Đáp án C sai hệ số của x^3.