Khai triển Maclaurin của ^{$f (x) = \sqrt{1 + \sin (x)} - \cos (x)$}đến x³

A.

A. $\frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{48} x^{3} + o (x^{3})$

B.

B. $\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{48} x^{3} + o (x^{3})$

C.

C. $\frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} + o (x^{3})$

D.

D. $\frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{16} x^{3} + o (x^{3})$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có khai triển Maclaurin của các hàm số cơ bản sau: * $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$ * $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^3)$ * $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + o(u^2)$ Khi đó: $\sqrt{1 + \sin(x)} = \sqrt{1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x - \frac{x^3}{6})^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{x^3}{12} - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3)$ $\sqrt{1 + \sin(x)} - \cos(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 - (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)) = \frac{1}{2}x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{8})x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)$ Vậy, khai triển Maclaurin của $f(x)$ đến $x^3$ là $\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)$. Tuy nhiên, không có đáp án nào chính xác hoàn toàn. Đáp án gần đúng nhất là A. Tuy nhiên, hệ số của x^3 là -1/12 chứ không phải -1/48. Đáp án A bị sai hệ số của x^3. Đáp án D sai hệ số của x^3. Đáp án B sai hệ số của x^2. Đáp án C sai hệ số của x^3.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 4

26 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Tiệm cận ngang của đường cong $y = a r c \tan (\frac{1 - x}{1 + x})$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \arctan (\frac{1 - x}{1 + x})$ , ta cần tìm giới hạn của hàm số khi x tiến đến $+ \infty$ và $- \infty$ .

Khi $x \to + \infty$ :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{1 - x}{1 + x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \arctan (\frac{1 - x}{1 + x}) = \arctan (- 1) = - \frac{π}{4}$

Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x \to + \infty$ là $y = - \frac{π}{4}$ .

Khi $x \to - \infty$ :

$\lim_{x \to - \infty} \frac{1 - x}{1 + x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to - \infty} \arctan (\frac{1 - x}{1 + x}) = \arctan (- 1) = - \frac{π}{4}$

Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x \to - \infty$ là $y = - \frac{π}{4}$ .

Vậy đáp án đúng là A.

Cho hàm số y = y(x) xác định từ phương trình $x 2^{x y} + (x - 1) y - 2 = 0$ . Tìm y’(1)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm y'(1), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm y(1): Thay x = 1 vào phương trình ban đầu, ta có:

1^{2} 2^{1 \cdot y} + (1 - 1) y - 2 = 0

2^{y} - 2 = 0

2^{y} = 2

Suy ra y = 1. Vậy y(1) = 1.

2. Lấy đạo hàm hai vế theo x:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần của phương trình:

\frac{d}{d x} (x^{2} 2^{x y}) + \frac{d}{d x} ((x - 1) y) - \frac{d}{d x} (2) = 0

Ta có:

\frac{d}{d x} (x^{2} 2^{x y}) = 2 x 2^{x y} + x^{2} 2^{x y} \ln (2) (y + x y')

\frac{d}{d x} ((x - 1) y) = y + (x - 1) y'

\frac{d}{d x} (2) = 0

Vậy:

2 x 2^{x y} + x^{2} 2^{x y} \ln (2) (y + x y') + y + (x - 1) y' = 0

3. Thay x = 1 và y = 1 vào phương trình trên:

2 \cdot 1 \cdot 2^{1 \cdot 1} + 1^{2} 2^{1 \cdot 1} \ln (2) (1 + 1 \cdot y') + 1 + (1 - 1) y' = 0

4 + 2 \ln (2) (1 + y') + 1 = 0

5 + 2 \ln (2) + 2 \ln (2) y' = 0

2 \ln (2) y' = - 5 - 2 \ln (2)

y' = \frac{- 5 - 2 \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{- 5}{2 \ln (2)} - 1 = \frac{- 5 - 2 \ln (2)}{2 \ln (2)}

Vậy, y'(1) =

\frac{- 5 - 2 \ln (2)}{2 \ln (2)}

. Tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp, có thể đề bài hoặc các đáp án bị sai sót.

Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{3} + 2 x - 4}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn

\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{3} + 2 x - 4}

, ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích biểu thức:
- Tử thức:

x^{2} - 6 x + 8

có thể phân tích thành

(x - 2) (x - 4)

.
- Mẫu thức:

x^{3} + 2 x - 4

. Nhận thấy khi

x = 2

, mẫu thức bằng 0. Do đó,

x - 2

là một nhân tử của mẫu thức. Thực hiện phép chia đa thức, ta có:

x^{3} + 2 x - 4 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)

.

2. Rút gọn biểu thức:

\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x^{3} + 2 x - 4} = \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2)} = \frac{x - 4}{x^{2} + 2 x + 2}

(với

x \neq 2

).

3. Tính giới hạn:

\lim_{x \to 2} \frac{x - 4}{x^{2} + 2 x + 2} = \frac{2 - 4}{2^{2} + 2 (2) + 2} = \frac{- 2}{4 + 4 + 2} = \frac{- 2}{10} = \frac{- 1}{5}

.

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α , khi x → 0

$f (x) = \cos (x) - \cos (\ln (x))$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2)

Khi x → 0, ln(x) → -∞. Do đó, ta không thể trực tiếp sử dụng khai triển Taylor cho cos(x) và cos(ln(x)) quanh x = 0.
Tuy nhiên, khi x -> 0, ln(x) -> -inf, cos(x) -> 1, cos(ln(x)) dao động từ -1 đến 1.

Xét khai triển Taylor của cos(u) quanh u = 0:
cos(u) = 1 - u^2/2 + o(u^2)

Khi x -> 0:
cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)
cos(ln(x)) = 1 - (ln(x))^2/2 + o((ln(x))^2)

=> cos(x) - cos(ln(x)) = x^2/2 - (ln(x))^2/2 + o(x^2) + o((ln(x))^2)

Tuy nhiên, biểu thức này không tương đương với ax^α khi x → 0.

Một cách tiếp cận khác:
Sử dụng công thức:
cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

Khi x -> 0: cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2)

Vì ln(x) -> -∞ khi x -> 0, việc đánh giá giới hạn này phức tạp.

Nhận thấy không có đáp án nào phù hợp. Vậy đáp án đúng là D. Các câu trên đều sai

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → 0

$f (x) = \sqrt{1 - 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 - 3 x^{2}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\(\sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(-2x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)
\(\sqrt[3]{1-3x^2} = (1-3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)
Do đó:
\(f(x) = \sqrt{1-2x^2} - \sqrt[3]{1-3x^2} = (1 - x^2) - (1 - x^2) + o(x^2) = o(x^2)\)
Để tìm giới hạn chính xác hơn, ta khai triển đến bậc cao hơn:
\(\sqrt{1-2x^2} = 1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\)
\(\sqrt[3]{1-3x^2} = 1 - x^2 - x^4 + o(x^4)\)
\(f(x) = (1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4) - (1 - x^2 - x^4) + o(x^4) = \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\)
Vậy \(f(x) \sim \frac{1}{2}x^4\) khi x → 0. Do đó, a = 1/2 và α = 4.

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Tìm đạo hàm cấp 4 của $f (x) = \sqrt{4 + 3 x^{2}}$ tại x = 0 là

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Tính giới hạn $\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} - x^{3}}{x - 3}$

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương $a x^{α}$ khi x → 0+

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Đồ Án Tốt Nghiệp Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy

89 tài liệu310 lượt tải

Đồ Án Tốt Nghiệp Hệ Thống Thông Tin

Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin

125 tài liệu441 lượt tải

Đồ Án Tốt Nghiệp Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông

104 tài liệu687 lượt tải

Khóa Luận Tốt Nghiệp Kiểm Toán

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán

103 tài liệu589 lượt tải

Luận Văn Tốt Nghiệp Kế Toán Doanh Nghiệp

Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp

377 tài liệu1030 lượt tải

Luận Văn Tốt Nghiệp Quản Trị Thương Hiệu

Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu

99 tài liệu1062 lượt tải

ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP

Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.