Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α , khi x → 0

$f (x) = \cos (x) - \cos (\ln (x))$

$a = \frac{1}{2}, α = 2$

$a = 1, α = 2$

$a = \frac{- 1}{2}, α = 2$

Các câu trên đều sai.

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có: cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2) Khi x → 0, ln(x) → -∞. Do đó, ta không thể trực tiếp sử dụng khai triển Taylor cho cos(x) và cos(ln(x)) quanh x = 0. Tuy nhiên, khi x -> 0, ln(x) -> -inf, cos(x) -> 1, cos(ln(x)) dao động từ -1 đến 1. Xét khai triển Taylor của cos(u) quanh u = 0: cos(u) = 1 - u^2/2 + o(u^2) Khi x -> 0: cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2) cos(ln(x)) = 1 - (ln(x))^2/2 + o((ln(x))^2) => cos(x) - cos(ln(x)) = x^2/2 - (ln(x))^2/2 + o(x^2) + o((ln(x))^2) Tuy nhiên, biểu thức này không tương đương với ax^α khi x → 0. Một cách tiếp cận khác: Sử dụng công thức: cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) Khi x -> 0: cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2) Vì ln(x) -> -∞ khi x -> 0, việc đánh giá giới hạn này phức tạp. Nhận thấy không có đáp án nào phù hợp. Vậy đáp án đúng là D. Các câu trên đều sai

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 4

26 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 3:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → 0

$f (x) = \sqrt{1 - 2 x^{2}} - \sqrt[3]{1 - 3 x^{2}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
$\sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(-2x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)$
$\sqrt[3]{1-3x^2} = (1-3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)$
Do đó:
$f(x) = \sqrt{1-2x^2} - \sqrt[3]{1-3x^2} = (1 - x^2) - (1 - x^2) + o(x^2) = o(x^2)$
Để tìm giới hạn chính xác hơn, ta khai triển đến bậc cao hơn:
$\sqrt{1-2x^2} = 1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)$
$\sqrt[3]{1-3x^2} = 1 - x^2 - x^4 + o(x^4)$
$f(x) = (1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4) - (1 - x^2 - x^4) + o(x^4) = \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)$
Vậy $f(x) \sim \frac{1}{2}x^4$ khi x → 0. Do đó, a = 1/2 và α = 4.

Câu 4:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:
\begin{align*}f(x) &= \sqrt[3]{x+\sqrt{x^3+x}} - \sqrt[3]{x} \\&= \sqrt[3]{x} \left( \sqrt[3]{1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}} - 1 \right)\\&= \sqrt[3]{x} \left( \left(1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{3}} - 1 \right)\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x+\frac{1}{x}}\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} x^{\frac{5}{6}}\end{align*}
Vậy không có đáp án nào đúng.

Câu 5:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 6:

Tìm đạo hàm cấp 4 của $f (x) = \sqrt{4 + 3 x^{2}}$ tại x = 0 là

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số

f (x) = \sqrt{4 + 3 x^{2}}

tại x = 0, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:

f (x) = {(4 + 3 x^{2})}^{1 / 2}

f' (x) = \frac{1}{2} {(4 + 3 x^{2})}^{- 1 / 2} . 6 x = \frac{3 x}{\sqrt{4 + 3 x^{2}}}

2. Tính đạo hàm cấp 2:

f " (x) = \frac{3 \sqrt{4 + 3 x^{2}} - 3 x . \frac{3 x}{\sqrt{4 + 3 x^{2}}}}{4 + 3 x^{2}} = \frac{3 (4 + 3 x^{2}) - 9 x^{2}}{{(4 + 3 x^{2})}^{3 / 2}} = \frac{12}{{(4 + 3 x^{2})}^{3 / 2}}

3. Tính đạo hàm cấp 3:

f "' (x) = 12 . (- \frac{3}{2}) {(4 + 3 x^{2})}^{- 5 / 2} . 6 x = \frac{- 108 x}{{(4 + 3 x^{2})}^{5 / 2}}

4. Tính đạo hàm cấp 4:

f "" (x) = \frac{- 108 {(4 + 3 x^{2})}^{5 / 2} - (- 108 x) . \frac{5}{2} {(4 + 3 x^{2})}^{3 / 2} . 6 x}{{(4 + 3 x^{2})}^{5}} = \frac{- 108 (4 + 3 x^{2}) + 1620 x^{2}}{{(4 + 3 x^{2})}^{7 / 2}}

5. Tính f""(0):

f "" (0) = \frac{- 108.4}{4^{7 / 2}} = \frac{- 432}{128} = \frac{- 27}{8}

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Câu 7:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} - x^{3}}{x - 3}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính giới hạn

\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} - x^{3}}{x - 3}

, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital vì khi thay x = 3 vào, ta được dạng vô định 0/0.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta cần tính đạo hàm của tử và mẫu:

Đạo hàm của tử số là:

\frac{d}{d x} (3^{x} - x^{3}) = 3^{x} \ln (3) - 3 x^{2}

Đạo hàm của mẫu số là:

\frac{d}{d x} (x - 3) = 1

Vậy, giới hạn trở thành:

\lim_{x \to 3} \frac{3^{x} \ln (3) - 3 x^{2}}{1} = 3^{3} \ln (3) - 3 \cdot 3^{2} = 27 \ln (3) - 27 = 27 (\ln (3) - 1)

Vậy đáp án đúng là A. 27(ln 3 – 1).

Câu 8:

Tìm a, $α$ để VCB sau tương đương $a x^{α}$ khi x → 0+

$f (x) = \sqrt[3]{x + \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt[3]{x}$

Lời giải: