Tìm a, $\alpha$ để VCB sau tương đương ax^α khi x → +∞

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^3+x}}-\sqrt[3]{x}$

Để tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{4+3x^2}$ tại x = 0, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp 1:
$f\left(x\right)={(4+3x^2)}^{1/2}$
$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}{(4+3x^2)}^{-1/2}.6x=\frac{3x}{\sqrt{4+3x^2}}$

2. Tính đạo hàm cấp 2:
$f"\left(x\right)=\frac{3\sqrt{4+3x^2}-3x.\frac{3x}{\sqrt{4+3x^2}}}{4+3x^2}=\frac{3(4+3x^2)-9x^2}{{(4+3x^2)}^{3/2}}=\frac{12}{{(4+3x^2)}^{3/2}}$

3. Tính đạo hàm cấp 3:
$f"\text{'}\left(x\right)=12.(-\frac{3}{2}){(4+3x^2)}^{-5/2}.6x=\frac{-108x}{{(4+3x^2)}^{5/2}}$

4. Tính đạo hàm cấp 4:
$f""\left(x\right)=\frac{-108{(4+3x^2)}^{5/2}-(-108x).\frac{5}{2}{(4+3x^2)}^{3/2}.6x}{{(4+3x^2)}^5}=\frac{-108(4+3x^2)+1620x^2}{{(4+3x^2)}^{7/2}}$

5. Tính f""(0):
$f""\left(0\right)=\frac{-108.4}{4^{7/2}}=\frac{-432}{128}=\frac{-27}{8}$

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Để tính giới hạn $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3^x-x^3}{x-3}$, ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital vì khi thay x = 3 vào, ta được dạng vô định 0/0.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta cần tính đạo hàm của tử và mẫu:

Đạo hàm của tử số là: $\frac{d}{dx}\left(3^x-x^3\right)=3^x\ln \left(3\right)-3x^2$

Đạo hàm của mẫu số là: $\frac{d}{dx}\left(x-3\right)=1$

Vậy, giới hạn trở thành:

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3^x\ln \left(3\right)-3x^2}{1}=3^3\ln \left(3\right)-3·3^2=27\ln \left(3\right)-27=27\left(\ln \left(3\right)-1\right)$

Vậy đáp án đúng là A. 27(ln 3 – 1).

Để tìm a và α sao cho f(x) tương đương với ax^α khi x tiến tới 0+, ta cần phân tích biểu thức f(x) và tìm giới hạn của f(x)/x^α khi x tiến tới 0+.

Ta có: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x+\sqrt{x^3+x}}-\sqrt[3]{x}$

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\left(\sqrt[3]{1+\sqrt{x+1}}-1\right)$

Sử dụng khai triển Taylor cho $(1+u{)}^n\approx 1+nu$ khi u tiến tới 0.
Đặt $u=\sqrt{x+1}$, ta có:

$\sqrt[3]{1+\sqrt{x+1}}\approx 1+\frac{1}{3}\sqrt{x+1}\approx 1+\frac{1}{3}\sqrt{x}$

Do đó,
$f\left(x\right)\approx \sqrt[3]{x}\left(1+\frac{1}{3}\sqrt{x}-1\right)=\sqrt[3]{x}.\frac{1}{3}\sqrt{x}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{5}{6}}$

Vậy, $a=\frac{1}{3}$ và $\alpha =\frac{5}{6}$

Như vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Để tìm số tiệm cận của hàm số \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\), ta cần xét các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

1. Tiệm cận đứng:
Hàm số có nghĩa khi \(x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x < -1 \lor x > 1\). Vậy tập xác định của hàm số là \(D = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).
Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến đến -1 từ bên trái và 1 từ bên phải.
- \(\lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{-1}{\sqrt{(-1)^2 - 1}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty\)
- \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{(1)^2 - 1}} = \frac{1}{0^+} = +\infty\)
Vậy, \(x = -1\) và \(x = 1\) là hai tiệm cận đứng.

2. Tiệm cận ngang:
Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến đến \(\pm \infty\).
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = 1\)
- \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = -1\)
Vậy, \(y = 1\) và \(y = -1\) là hai tiệm cận ngang.

Tổng cộng, hàm số có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang, tức là có 4 tiệm cận.

Để hàm số có tiếp tuyến trái và phải tại x = 1 trùng nhau, hàm số phải liên tục tại x = 1 và đạo hàm trái, phải tại x = 1 phải bằng nhau.

* Tính liên tục tại x = 1:
* \(y(1) = \alpha + \beta \)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = {1^2} + 1 = 2\)
Để hàm số liên tục tại x = 1, ta có: \(\alpha + \beta = 2\) (1)

* Tính đạo hàm tại x = 1:
* Với x ≤ 1: \(y' = \alpha \)
* Với x > 1: \(y' = 2x + 1\)
* Đạo hàm bên phải tại x = 1: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y' = 2(1) + 1 = 3\)
Để đạo hàm trái và phải bằng nhau tại x = 1, ta có: \(\alpha = 3\) (2)

Thay (2) vào (1), ta được: \(3 + \beta = 2 \Rightarrow \beta = - 1\)

Vậy, \(\alpha = 3\) và \(\beta = - 1\).