Hàm nào sau đây là hàm chẵn?

${\rm{cos}}x$

${\rm{sin}}2x$

${\rm{cos}}x + {\rm{sin}}2x$

${e^x} - 1$

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn điều kiện f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số. Xét từng phương án: A. $f(x) = cos(x)$. Ta có $f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x)$. Vậy hàm số $cos(x)$ là hàm chẵn. B. $f(x) = sin(2x)$. Ta có $f(-x) = sin(-2x) = -sin(2x) = -f(x)$. Vậy hàm số $sin(2x)$ là hàm lẻ. C. $f(x) = cos(x) + sin(2x)$. Ta có $f(-x) = cos(-x) + sin(-2x) = cos(x) - sin(2x)$. Hàm số này không chẵn cũng không lẻ vì $f(-x) ≠ f(x)$ và $f(-x) ≠ -f(x)$. D. $f(x) = e^x - 1$. Ta có $f(-x) = e^{-x} - 1$. Hàm số này không chẵn cũng không lẻ vì $f(-x) ≠ f(x)$ và $f(-x) ≠ -f(x)$. Vậy, chỉ có hàm số $cos(x)$ là hàm chẵn.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 4

26 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \ln \sqrt {{x^2} + 1} - \arctan x + x\] trên [0;1].

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \ln \sqrt{x^2 + 1} - \arctan x + x$ trên đoạn [0; 1], ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số:
$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x - 1}{x^2 + 1} + 1 = \frac{x - 1 + x^2 + 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} = \frac{x(x + 1)}{x^2 + 1}$

2. Tìm các điểm tới hạn:
Giải phương trình $f'(x) = 0$, ta có $x(x + 1) = 0$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = -1$. Vì xét trên đoạn [0; 1], ta chỉ quan tâm đến $x = 0$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và hai đầu mút:
- $f(0) = \ln \sqrt{0^2 + 1} - \arctan 0 + 0 = \ln 1 - 0 + 0 = 0$
- $f(1) = \ln \sqrt{1^2 + 1} - \arctan 1 + 1 = \ln \sqrt{2} - \frac{\pi}{4} + 1 = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$

4. So sánh các giá trị và kết luận:
So sánh $f(0) = 0$ và $f(1) = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$. Ta cần so sánh $0$ và $\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4} + 1$.
Ta có $\ln 2 \approx 0.693$, $\frac{1}{2} \ln 2 \approx 0.3465$, và $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
Do đó, $f(1) \approx 0.3465 - 0.785 + 1 \approx 0.6615 > 0$.
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 1] là $f(0) = 0$.

Câu 16:

Khai triển Maclaurin cấp 5 của \[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\] là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để khai triển Maclaurin cấp 5 của hàm số $f(x) = \frac{x+2}{x+1}$, ta có thể viết lại hàm số như sau:
\[f(x) = \frac{x+1+1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{1+x}\]
Ta biết khai triển Maclaurin của $\frac{1}{1+x}$ là:
\[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)\]
Do đó, khai triển Maclaurin của $f(x)$ là:
\[f(x) = 1 + (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)) = 2 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)\]
Vậy đáp án đúng là B.

Câu 17:

Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 2}}\] có 2 cực trị.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số $f(x) = \frac{ax + 1}{x^2 + 2}$ có 2 cực trị, ta cần tìm điều kiện của $a$ sao cho đạo hàm $f'(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Tính đạo hàm của $f(x)$:
\[f'(x) = \frac{a(x^2 + 2) - (ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{ax^2 + 2a - 2ax^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-ax^2 - 2x + 2a}{(x^2 + 2)^2}\]

Để $f(x)$ có 2 cực trị, $f'(x) = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt. Vì mẫu số $(x^2 + 2)^2 > 0$ với mọi $x$, ta chỉ cần xét tử số:
\[-ax^2 - 2x + 2a = 0\]

Hay:
\[ax^2 + 2x - 2a = 0\]

Đây là một phương trình bậc hai. Để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:

1. $a \ne 0$ (để là phương trình bậc hai).
2. $\Delta > 0$, với $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(a)(-2a) = 4 + 8a^2$

Vì $4 + 8a^2 > 0$ với mọi $a$, điều kiện duy nhất là $a \ne 0$.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 18:

Tìm d²f(1) với \[f\left( x \right) = \cosh \left( {{x^2} - {x^3}} \right)\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm d²f(1), ta cần tính đạo hàm bậc hai của f(x) rồi thay x = 1 vào.

f(x) = cosh(x² - x³)

f'(x) = sinh(x² - x³) * (2x - 3x²)

f''(x) = cosh(x² - x³) * (2x - 3x²)² + sinh(x² - x³) * (2 - 6x)

f''(1) = cosh(1 - 1) * (2 - 3)² + sinh(1 - 1) * (2 - 6)
= cosh(0) * (-1)² + sinh(0) * (-4)
= 1 * 1 + 0 * (-4) = 1

Vì vậy, d²f(1) = f''(1)dx² = 1dx² = dx²

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 19:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^4} + 4x - 1\]. Số điểm uốn của đồ thị hàm số là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm số điểm uốn của đồ thị hàm số, ta cần tìm các nghiệm của đạo hàm cấp hai và xét sự đổi dấu của đạo hàm cấp hai tại các nghiệm đó.

1. Tính đạo hàm cấp nhất: \[f'\left( x \right) = 5{x^4} - 20{x^3} + 4\]
2. Tính đạo hàm cấp hai: \[f''\left( x \right) = 20{x^3} - 60{x^2} = 20{x^2}\left( {x - 3} \right)\]
3. Giải phương trình \[f''\left( x \right) = 0\], ta được \[x = 0\] (nghiệm kép) và \[x = 3\] (nghiệm đơn).
4. Xét dấu của \[f''\left( x \right)\]:
- Khi \[x < 0\], \[f''\left( x \right) < 0\]
- Khi \[0 < x < 3\], \[f''\left( x \right) < 0\]
- Khi \[x > 3\], \[f''\left( x \right) > 0\]

Vì đạo hàm cấp hai đổi dấu khi đi qua điểm \[x = 3\] (từ âm sang dương), nên \[x = 3\] là một điểm uốn.
Vì đạo hàm cấp hai không đổi dấu khi đi qua điểm \[x = 0\] (vẫn âm), nên \[x = 0\] không phải là điểm uốn.

Vậy, đồ thị hàm số có 1 điểm uốn.

Câu 20:

Tìm miền xác định của f’(x), với \[f\left( x \right) = \left| {\left( {x + 1} \right)x} \right| - 3{x^2} + 1\]

Lời giải: