Tìm d²f(1) với \[f\left( x \right) = \cosh \left( {{x^2} - {x^3}} \right)\]

Để tìm số điểm uốn của đồ thị hàm số, ta cần tìm các nghiệm của đạo hàm cấp hai và xét sự đổi dấu của đạo hàm cấp hai tại các nghiệm đó.

1. Tính đạo hàm cấp nhất: \[f'\left( x \right) = 5{x^4} - 20{x^3} + 4\]
2. Tính đạo hàm cấp hai: \[f''\left( x \right) = 20{x^3} - 60{x^2} = 20{x^2}\left( {x - 3} \right)\]
3. Giải phương trình \[f''\left( x \right) = 0\], ta được \[x = 0\] (nghiệm kép) và \[x = 3\] (nghiệm đơn).
4. Xét dấu của \[f''\left( x \right)\]:
- Khi \[x < 0\], \[f''\left( x \right) < 0\]
- Khi \[0 < x < 3\], \[f''\left( x \right) < 0\]
- Khi \[x > 3\], \[f''\left( x \right) > 0\]

Vì đạo hàm cấp hai đổi dấu khi đi qua điểm \[x = 3\] (từ âm sang dương), nên \[x = 3\] là một điểm uốn.
Vì đạo hàm cấp hai không đổi dấu khi đi qua điểm \[x = 0\] (vẫn âm), nên \[x = 0\] không phải là điểm uốn.

Vậy, đồ thị hàm số có 1 điểm uốn.

Hàm số f(x) được cho bởi biểu thức \(f(x) = |(x+1)x| - 3x^2 + 1\). Để tìm miền xác định của f'(x), ta cần tìm miền xác định của f(x) trước, sau đó tìm đạo hàm f'(x) và xác định miền xác định của f'(x).

1. Miền xác định của f(x):
- Biểu thức (x+1)x là một đa thức, xác định trên \(\mathbb{R}\).
- Giá trị tuyệt đối |(x+1)x| cũng xác định trên \(\mathbb{R}\).
- \(3x^2 + 1\) xác định trên \(\mathbb{R}\).
- Vậy, f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\).

2. Tìm đạo hàm f'(x):
- Xét hàm số g(x) = (x+1)x = x^2 + x.
- Khi đó f(x) = |g(x)| - 3x^2 + 1.
- Ta biết rằng đạo hàm của |g(x)| là \(\frac{g(x)}{|g(x)|} g'(x)\) khi g(x) ≠ 0 và không tồn tại khi g(x) = 0.
- g'(x) = 2x + 1.
- Do đó, \(f'(x) = \frac{{(x + 1)x}}{{\left| {(x + 1)x} \right|}}(2x + 1) - 6x\) khi (x+1)x ≠ 0.
- (x+1)x = 0 khi x = 0 hoặc x = -1.

3. Miền xác định của f'(x):
- Vì f'(x) không xác định khi (x+1)x = 0, tức là x = 0 hoặc x = -1.
- Vậy, miền xác định của f'(x) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\).

The limit is of the form 0/0. Applying L'Hopital's rule, we differentiate the numerator and denominator separately with respect to x. After simplification and evaluation at x=0, we arrive at -4/(e^2 - e). However the problem requires that d must be a number. The problem in the expression must be 4-3x to proceed further. But it should be 4 -4x to have limit. After correction and calculation we find c = -4, d = e(e-1), H = c-d = -4. Then we can find the closest answer.

Để tính giới hạn đã cho, ta sử dụng phương pháp logarit hóa và khai triển Taylor.

Ta có: \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos 3x} \right)^{{{\cot }^2}x}}\]

Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta được:
\[\ln I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\cot ^2}x\ln \left( {\cos 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {\cos 3x} \right)}}{{{{\tan }^2}x}}\]

Sử dụng khai triển Taylor, ta có:
\[\cos 3x = 1 - \frac{{{{\left( {3x} \right)}^2}}}{{2!}} + O\left( {{x^4}} \right) = 1 - \frac{{9{x^2}}}{2} + O\left( {{x^4}} \right)\]
\[\ln \left( {\cos 3x} \right) = \ln \left( {1 - \frac{{9{x^2}}}{2} + O\left( {{x^4}} \right)} \right) = - \frac{{9{x^2}}}{2} + O\left( {{x^4}} \right)\]
\[\tan x = x + \frac{{{x^3}}}{3} + O\left( {{x^5}} \right)\]
\[{\tan ^2}x = {x^2} + O\left( {{x^4}} \right)\]

Thay vào biểu thức giới hạn, ta có:
\[\ln I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{{9{x^2}}}{2} + O\left( {{x^4}} \right)}}{{{x^2} + O\left( {{x^4}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{9}{2} + O\left( {{x^2}} \right)}}{{1 + O\left( {{x^2}} \right)}} = - \frac{9}{2}\]

Vậy, \[I = {e^{ - \frac{9}{2}}}\]

Do đó, đáp án đúng là D.

Để tính giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{x}\ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} } \right)\), ta có thể biến đổi biểu thức như sau:

\begin{aligned}
I &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right)^{\frac{1}{2}} \\
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2x}} \ln \left( {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right) \\
&= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x) - \ln (1 - x)}}{x}
\end{aligned}

Sử dụng khai triển Taylor cho \(\ln(1+x)\) và \(\ln(1-x)\) xung quanh \(x=0\), ta có:

\(\ln (1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...\)
\(\ln (1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ...\)

Do đó,

\(\ln (1 + x) - \ln (1 - x) = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - ...) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + ...\)

Khi đó,

\begin{aligned}
I &= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + ...}}{x} \\
&= \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2 + \frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{5} + ...} \right) \\
&= \frac{1}{2} (2 + 0 + 0 + ...) = 1
\end{aligned}

Vậy, \(I = 1\).