Tiệm cận ngang của đường cong $y=arc\tan \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$là 

Để tìm y'(1), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm y(1): Thay x = 1 vào phương trình ban đầu, ta có:
$1^2{2}^{1\cdot y}+(1-1)y-2=0$
$2^y-2=0$
$2^y=2$
Suy ra y = 1. Vậy y(1) = 1.

2. Lấy đạo hàm hai vế theo x:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần của phương trình:
$\frac{d}{dx}\left(x^2{2}^{xy}\right)+\frac{d}{dx}\left(\right(x-1\left)y\right)-\frac{d}{dx}\left(2\right)=0$
Ta có:
$\frac{d}{dx}\left(x^2{2}^{xy}\right)=2x{2}^{xy}+x^2{2}^{xy}\ln \left(2\right)(y+xy\text{'})$
$\frac{d}{dx}\left(\right(x-1\left)y\right)=y+(x-1)y\text{'}$
$\frac{d}{dx}\left(2\right)=0$
Vậy:
$2x{2}^{xy}+x^2{2}^{xy}\ln \left(2\right)(y+xy\text{'})+y+(x-1)y\text{'}=0$

3. Thay x = 1 và y = 1 vào phương trình trên:
$2\cdot 1\cdot 2^{1\cdot 1}+1^2{2}^{1\cdot 1}\ln \left(2\right)(1+1\cdot y\text{'})+1+(1-1)y\text{'}=0$
$4+2\ln \left(2\right)(1+y\text{'})+1=0$
$5+2\ln \left(2\right)+2\ln \left(2\right)y\text{'}=0$
$2\ln \left(2\right)y\text{'}=-5-2\ln \left(2\right)$
$y\text{'}=\frac{-5-2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}=\frac{-5}{2\ln \left(2\right)}-1=\frac{-5-2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}$

Vậy, y'(1) = $\frac{-5-2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}$. Tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp, có thể đề bài hoặc các đáp án bị sai sót.

Để tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6x+8}{x^3+2x-4}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích biểu thức:
- Tử thức: $x^2-6x+8$ có thể phân tích thành $(x-2)(x-4)$.
- Mẫu thức: $x^3+2x-4$. Nhận thấy khi $x=2$, mẫu thức bằng 0. Do đó, $x-2$ là một nhân tử của mẫu thức. Thực hiện phép chia đa thức, ta có:
$x^3+2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$.

2. Rút gọn biểu thức:
$\frac{x^2-6x+8}{x^3+2x-4}=\frac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x^2+2x+2)}=\frac{x-4}{x^2+2x+2}$ (với $x\ne 2$).

3. Tính giới hạn:
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-4}{x^2+2x+2}=\frac{2-4}{2^2+2\left(2\right)+2}=\frac{-2}{4+4+2}=\frac{-2}{10}=\frac{-1}{5}$.

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

Ta có:

cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2)

Khi x → 0, ln(x) → -∞. Do đó, ta không thể trực tiếp sử dụng khai triển Taylor cho cos(x) và cos(ln(x)) quanh x = 0.
Tuy nhiên, khi x -> 0, ln(x) -> -inf, cos(x) -> 1, cos(ln(x)) dao động từ -1 đến 1.

Xét khai triển Taylor của cos(u) quanh u = 0:
cos(u) = 1 - u^2/2 + o(u^2)

Khi x -> 0:
cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)
cos(ln(x)) = 1 - (ln(x))^2/2 + o((ln(x))^2)

=> cos(x) - cos(ln(x)) = x^2/2 - (ln(x))^2/2 + o(x^2) + o((ln(x))^2)

Tuy nhiên, biểu thức này không tương đương với ax^α khi x → 0.

Một cách tiếp cận khác:
Sử dụng công thức:
cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

Khi x -> 0: cos(x) - cos(ln(x)) = -2sin((x+ln(x))/2)sin((x-ln(x))/2)

Vì ln(x) -> -∞ khi x -> 0, việc đánh giá giới hạn này phức tạp.

Nhận thấy không có đáp án nào phù hợp. Vậy đáp án đúng là D. Các câu trên đều sai

Ta có:
\(\sqrt{1-2x^2} = (1-2x^2)^{1/2} = 1 + \frac{1}{2}(-2x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)
\(\sqrt[3]{1-3x^2} = (1-3x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}(-3x^2) + o(x^2) = 1 - x^2 + o(x^2)\)
Do đó:
\(f(x) = \sqrt{1-2x^2} - \sqrt[3]{1-3x^2} = (1 - x^2) - (1 - x^2) + o(x^2) = o(x^2)\)
Để tìm giới hạn chính xác hơn, ta khai triển đến bậc cao hơn:
\(\sqrt{1-2x^2} = 1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\)
\(\sqrt[3]{1-3x^2} = 1 - x^2 - x^4 + o(x^4)\)
\(f(x) = (1 - x^2 - \frac{1}{2}x^4) - (1 - x^2 - x^4) + o(x^4) = \frac{1}{2}x^4 + o(x^4)\)
Vậy \(f(x) \sim \frac{1}{2}x^4\) khi x → 0. Do đó, a = 1/2 và α = 4.

Ta có:
\begin{align*}f(x) &= \sqrt[3]{x+\sqrt{x^3+x}} - \sqrt[3]{x} \\&= \sqrt[3]{x} \left( \sqrt[3]{1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}} - 1 \right)\\&= \sqrt[3]{x} \left( \left(1+\sqrt{x+\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{3}} - 1 \right)\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x+\frac{1}{x}}\\&\sim \sqrt[3]{x} \cdot \frac{1}{3} \sqrt{x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} x^{\frac{5}{6}}\end{align*}
Vậy không có đáp án nào đúng.