Tìm khai triển Taylor của hàm \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\] đến bậc 2 tại x₀ = 1 với phần dư Peano.

Ta có:

$x\text{'}\left(t\right)=-4\sin \left(t\right)+4\sin \left(2t\right)$



Suy ra: $y\text{'}\left(x\right)=\frac{y\text{'}\left(t\right)}{x\text{'}\left(t\right)}=\frac{4\cos \left(t\right)-4\cos \left(2t\right)}{-4\sin \left(t\right)+4\sin \left(2t\right)}$

Tại $t=\frac{\pi }{2}$ thì $y\text{'}\left(2\right)=\frac{4\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)-4\cos \left(\pi \right)}{-4\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+4\sin \left(\pi \right)}=\frac{0+4}{-4+0}=-1$

Ta có khai triển Maclaurin của các hàm số cơ bản sau:

* $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
* $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + o(x^3)$
* $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 + o(u^2)$

Khi đó:

$\sqrt{1 + \sin(x)} = \sqrt{1 + x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = 1 + \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{8}(x - \frac{x^3}{6})^2 + o(x^3) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{x^3}{12} - \frac{1}{8}x^2 + o(x^3)$

$\sqrt{1 + \sin(x)} - \cos(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 - (1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)) = \frac{1}{2}x + (\frac{1}{2} - \frac{1}{8})x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)$

Vậy, khai triển Maclaurin của $f(x)$ đến $x^3$ là $\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{12}x^3 + o(x^3)$. Tuy nhiên, không có đáp án nào chính xác hoàn toàn. Đáp án gần đúng nhất là A. Tuy nhiên, hệ số của x^3 là -1/12 chứ không phải -1/48.

Đáp án A bị sai hệ số của x^3. Đáp án D sai hệ số của x^3. Đáp án B sai hệ số của x^2. Đáp án C sai hệ số của x^3.

Để tìm y'(1), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm y(1): Thay x = 1 vào phương trình ban đầu, ta có:
$1^2{2}^{1\cdot y}+(1-1)y-2=0$
$2^y-2=0$
$2^y=2$
Suy ra y = 1. Vậy y(1) = 1.

2. Lấy đạo hàm hai vế theo x:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho từng thành phần của phương trình:
$\frac{d}{dx}\left(x^2{2}^{xy}\right)+\frac{d}{dx}\left(\right(x-1\left)y\right)-\frac{d}{dx}\left(2\right)=0$
Ta có:
$\frac{d}{dx}\left(x^2{2}^{xy}\right)=2x{2}^{xy}+x^2{2}^{xy}\ln \left(2\right)(y+xy\text{'})$
$\frac{d}{dx}\left(\right(x-1\left)y\right)=y+(x-1)y\text{'}$
$\frac{d}{dx}\left(2\right)=0$
Vậy:
$2x{2}^{xy}+x^2{2}^{xy}\ln \left(2\right)(y+xy\text{'})+y+(x-1)y\text{'}=0$

3. Thay x = 1 và y = 1 vào phương trình trên:
$2\cdot 1\cdot 2^{1\cdot 1}+1^2{2}^{1\cdot 1}\ln \left(2\right)(1+1\cdot y\text{'})+1+(1-1)y\text{'}=0$
$4+2\ln \left(2\right)(1+y\text{'})+1=0$
$5+2\ln \left(2\right)+2\ln \left(2\right)y\text{'}=0$
$2\ln \left(2\right)y\text{'}=-5-2\ln \left(2\right)$
$y\text{'}=\frac{-5-2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}=\frac{-5}{2\ln \left(2\right)}-1=\frac{-5-2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}$

Vậy, y'(1) = $\frac{-5-2\ln \left(2\right)}{2\ln \left(2\right)}$. Tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp, có thể đề bài hoặc các đáp án bị sai sót.

Để tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6x+8}{x^3+2x-4}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích biểu thức:
- Tử thức: $x^2-6x+8$ có thể phân tích thành $(x-2)(x-4)$.
- Mẫu thức: $x^3+2x-4$. Nhận thấy khi $x=2$, mẫu thức bằng 0. Do đó, $x-2$ là một nhân tử của mẫu thức. Thực hiện phép chia đa thức, ta có:
$x^3+2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$.

2. Rút gọn biểu thức:
$\frac{x^2-6x+8}{x^3+2x-4}=\frac{(x-2)(x-4)}{(x-2)(x^2+2x+2)}=\frac{x-4}{x^2+2x+2}$ (với $x\ne 2$).

3. Tính giới hạn:
$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-4}{x^2+2x+2}=\frac{2-4}{2^2+2\left(2\right)+2}=\frac{-2}{4+4+2}=\frac{-2}{10}=\frac{-1}{5}$.

Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.