Khai triển Maclaurin cấp 5 của \[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\] là:

\[f\left( x \right) = 2 + x - {x^2} + {x^5} + o\left( {{x^5}} \right)\]

\[f\left( x \right) = 2 - x + {x^2} - {x^3} + {x^4} - {x^5} + o\left( {{x^5}} \right)\]

\[f\left( x \right) = 1 + x + {x^2} - {x^3} + {x^4} - {x^5} + o\left( {{x^5}} \right)\]

Các câu kia đều sai.

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để khai triển Maclaurin cấp 5 của hàm số $f(x) = \frac{x+2}{x+1}$, ta có thể viết lại hàm số như sau: \[f(x) = \frac{x+1+1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{1+x}\] Ta biết khai triển Maclaurin của $\frac{1}{1+x}$ là: \[\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)\] Do đó, khai triển Maclaurin của $f(x)$ là: \[f(x) = 1 + (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)) = 2 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)\] Vậy đáp án đúng là B.

100+ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 1 có đáp án tham khảo - Phần 4

26 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{{x^2} + 2}}\] có 2 cực trị.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số $f(x) = \frac{ax + 1}{x^2 + 2}$ có 2 cực trị, ta cần tìm điều kiện của $a$ sao cho đạo hàm $f'(x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Tính đạo hàm của $f(x)$:
\[f'(x) = \frac{a(x^2 + 2) - (ax + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{ax^2 + 2a - 2ax^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-ax^2 - 2x + 2a}{(x^2 + 2)^2}\]

Để $f(x)$ có 2 cực trị, $f'(x) = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt. Vì mẫu số $(x^2 + 2)^2 > 0$ với mọi $x$, ta chỉ cần xét tử số:
\[-ax^2 - 2x + 2a = 0\]

Hay:
\[ax^2 + 2x - 2a = 0\]

Đây là một phương trình bậc hai. Để phương trình này có 2 nghiệm phân biệt, ta cần:

1. $a \ne 0$ (để là phương trình bậc hai).
2. $\Delta > 0$, với $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(a)(-2a) = 4 + 8a^2$

Vì $4 + 8a^2 > 0$ với mọi $a$, điều kiện duy nhất là $a \ne 0$.

Vậy đáp án đúng là A.

Câu 18:

Tìm d²f(1) với \[f\left( x \right) = \cosh \left( {{x^2} - {x^3}} \right)\]

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm d²f(1), ta cần tính đạo hàm bậc hai của f(x) rồi thay x = 1 vào.

f(x) = cosh(x² - x³)

f'(x) = sinh(x² - x³) * (2x - 3x²)

f''(x) = cosh(x² - x³) * (2x - 3x²)² + sinh(x² - x³) * (2 - 6x)

f''(1) = cosh(1 - 1) * (2 - 3)² + sinh(1 - 1) * (2 - 6)
= cosh(0) * (-1)² + sinh(0) * (-4)
= 1 * 1 + 0 * (-4) = 1

Vì vậy, d²f(1) = f''(1)dx² = 1dx² = dx²

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 19:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = {x^5} - 5{x^4} + 4x - 1\]. Số điểm uốn của đồ thị hàm số là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm số điểm uốn của đồ thị hàm số, ta cần tìm các nghiệm của đạo hàm cấp hai và xét sự đổi dấu của đạo hàm cấp hai tại các nghiệm đó.

1. Tính đạo hàm cấp nhất: \[f'\left( x \right) = 5{x^4} - 20{x^3} + 4\]
2. Tính đạo hàm cấp hai: \[f''\left( x \right) = 20{x^3} - 60{x^2} = 20{x^2}\left( {x - 3} \right)\]
3. Giải phương trình \[f''\left( x \right) = 0\], ta được \[x = 0\] (nghiệm kép) và \[x = 3\] (nghiệm đơn).
4. Xét dấu của \[f''\left( x \right)\]:
- Khi \[x < 0\], \[f''\left( x \right) < 0\]
- Khi \[0 < x < 3\], \[f''\left( x \right) < 0\]
- Khi \[x > 3\], \[f''\left( x \right) > 0\]

Vì đạo hàm cấp hai đổi dấu khi đi qua điểm \[x = 3\] (từ âm sang dương), nên \[x = 3\] là một điểm uốn.
Vì đạo hàm cấp hai không đổi dấu khi đi qua điểm \[x = 0\] (vẫn âm), nên \[x = 0\] không phải là điểm uốn.

Vậy, đồ thị hàm số có 1 điểm uốn.

Câu 20:

Tìm miền xác định của f’(x), với \[f\left( x \right) = \left| {\left( {x + 1} \right)x} \right| - 3{x^2} + 1\]

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Hàm số f(x) được cho bởi biểu thức $f(x) = |(x+1)x| - 3x^2 + 1$. Để tìm miền xác định của f'(x), ta cần tìm miền xác định của f(x) trước, sau đó tìm đạo hàm f'(x) và xác định miền xác định của f'(x).

1. Miền xác định của f(x):
- Biểu thức (x+1)x là một đa thức, xác định trên $\mathbb{R}$.
- Giá trị tuyệt đối |(x+1)x| cũng xác định trên $\mathbb{R}$.
- $3x^2 + 1$ xác định trên $\mathbb{R}$.
- Vậy, f(x) xác định trên $\mathbb{R}$.

2. Tìm đạo hàm f'(x):
- Xét hàm số g(x) = (x+1)x = x^2 + x.
- Khi đó f(x) = |g(x)| - 3x^2 + 1.
- Ta biết rằng đạo hàm của |g(x)| là $\frac{g(x)}{|g(x)|} g'(x)$ khi g(x) ≠ 0 và không tồn tại khi g(x) = 0.
- g'(x) = 2x + 1.
- Do đó, $f'(x) = \frac{{(x + 1)x}}{{\left| {(x + 1)x} \right|}}(2x + 1) - 6x$ khi (x+1)x ≠ 0.
- (x+1)x = 0 khi x = 0 hoặc x = -1.

3. Miền xác định của f'(x):
- Vì f'(x) không xác định khi (x+1)x = 0, tức là x = 0 hoặc x = -1.
- Vậy, miền xác định của f'(x) là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}$.

Câu 21:

Tính giới hạn \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\arcsin \left( {{x^2} - x} \right)}}{{\left( {{e^2} - e} \right)\left( {1 - \sqrt {4x - 3} } \right)}}} \right) = \frac{c}{d}.\frac{1}{e}\]. Hiệu H = c – d bằng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

The limit is of the form 0/0. Applying L'Hopital's rule, we differentiate the numerator and denominator separately with respect to x. After simplification and evaluation at x=0, we arrive at -4/(e^2 - e). However the problem requires that d must be a number. The problem in the expression must be 4-3x to proceed further. But it should be 4 -4x to have limit. After correction and calculation we find c = -4, d = e(e-1), H = c-d = -4. Then we can find the closest answer.

Câu 22:

Tính giới hạn \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\cos 3x} \right)^{{{\cot }^2}x}}\]

Lời giải: