Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sin 2x + 2x,\,\,y = 2x,\,0 \le x \le \frac{\pi }{2}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{3}{2}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) trên đoạn \([a, b]\) là:

\(S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx\)

Trong trường hợp này, \(f(x) = \sin 2x + 2x\) và \(g(x) = 2x\), với \(0 \le x \le \frac{\pi}{2}\).

Ta có:

\(S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x + 2x - 2x| dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin 2x| dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx\)

\(= \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos(\pi) - \left( -\frac{1}{2} \cos(0) \right) = -\frac{1}{2} (-1) + \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

Vậy diện tích hình phẳng là 1.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 1

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại \(x = 9\). Ta cần xét sự hội tụ tại điểm này.

Ta có thể viết lại tích phân như sau:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \int\limits_0^9 {\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}dx}\)

Xét cận trên của tích phân, khi \(x\) tiến gần đến 9, ta có \(x-9 \to 0\), do đó \(\frac{{\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\) tiến đến vô cùng. Để xét sự hội tụ, ta so sánh với hàm \(\frac{1}{{x - 9}}\). Tuy nhiên, cách này không trực tiếp kết luận được.

Thay vào đó, ta xét tích phân không xác định:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} \)
Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\), ta có:
\(\int {\frac{{2tdt}}{{t - 3}}} = 2\int {\frac{{t - 3 + 3}}{{t - 3}}dt} = 2\int {\left( {1 + \frac{3}{{t - 3}}} \right)dt} = 2\left( {t + 3\ln \left| {t - 3} \right|} \right) + C = 2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right| + C\)
Do đó:
\(\int\limits_0^9 {\frac{{dx}}{{\sqrt x - 3}}} = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left[ {2\sqrt x + 6\ln \left| {\sqrt x - 3} \right|} \right]_0^b = \mathop {\lim }\limits_{b \to {9^ - }} \left( {2\sqrt b + 6\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| - 6\ln 3} \right)\)
Khi \(b \to {9^ - }\), \(\sqrt b \to 3\), do đó \(\ln \left| {\sqrt b - 3} \right| \to - \infty \). Vậy tích phân suy rộng này phân kỳ.

Câu 8:

Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\) . Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để xét sự hội tụ của chuỗi số dương \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\), ta có thể sử dụng tiêu chuẩn so sánh.

Ta có: \(\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }} \sim \frac{1}{{\sqrt {2n \cdot n^2} }} = \frac{1}{{\sqrt {2n^3} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 n^{3/2} }}\) khi \(n \to \infty\)\.

Xét chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt 2 n^{3/2} }}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^{3/2} }}}\). Đây là chuỗi Riemann với \(p = \frac{3}{2} > 1\)\, do đó chuỗi này hội tụ.

Theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {2n({n^2} + 7)} }}}\) cũng hội tụ.

Câu 9:

Cho chuỗi \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n}\). Chọn phát biểu đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để xét sự hội tụ của chuỗi số dương \( \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) ta có thể dùng tiêu chuẩn Cauchy.

Đặt \(a_n = {\left( {\frac{n}{{4n + 1}}} \right)} ^n\)

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{n}{{4n + 1}} = \frac{1}{4} < 1\)

Vậy chuỗi số hội tụ.

Câu 10:

Định nghĩa nào sau đây đúng về tích phân suy rộng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân có một hoặc cả hai cận là vô cùng. Định nghĩa chính xác của tích phân suy rộng với cận dưới là âm vô cùng và cận trên là b là giới hạn của tích phân từ a đến b khi a tiến tới âm vô cùng. Công thức đúng phải là \(\int\limits_{ - \infty }^b {f(x)dx = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } } \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

Câu 11:

Khai triển Maclaurin của \(\sin (2{x^2})\) đến \(x^6\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có khai triển Maclaurin của sin(x) là: \(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...\)

Thay x bởi \(2x^2\), ta được:

\(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{(2x^2)^3}{3!} + \frac{(2x^2)^5}{5!} - ...\)

\(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{8x^6}{6} + \frac{32x^{10}}{120} - ...\)

\(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{4x^6}{3} + \frac{4x^{10}}{15} - ...\)

Đến \(x^6\), ta có:

\(\sin(2x^2) = 2x^2 - \frac{4x^6}{3} + o(x^8)\)

Vậy, đáp án đúng là: \(2{x^2} - \frac{{4{x^6}}}{3} + o({x^8})\)

Câu 12:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{2{x^2} + 3}}{{2{x^2} - 1}}} \right)^{{x^2}}}\)

Lời giải: