JavaScript is required

Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{1}{{ax + b}},a \ne 0\)

A.

\({y^{(n)}} = \frac{{{{(2)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)

B.

\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(x + 1)}^{n + 1}}}}\)

C.

\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)

D.

\({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D


Ta có \(y = (ax+b)^{-1}\) Đạo hàm cấp 1: \(y' = (-1)(ax+b)^{-2}.a = (-1)^1 a (ax+b)^{-2}\) Đạo hàm cấp 2: \(y'' = (-1)(-2)(ax+b)^{-3}.a^2 = (-1)^2 2! a^2 (ax+b)^{-3}\) Đạo hàm cấp 3: \(y''' = (-1)(2)(-3)(ax+b)^{-4}.a^3 = (-1)^3 3! a^3 (ax+b)^{-4}\) Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức đạo hàm cấp n của hàm số là: \(y^{(n)} = (-1)^n n! a^n (ax+b)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}\)

Câu hỏi liên quan