Một giải thuật đệ qui được thực hiện thông qua hai bước.

Các phương pháp thường dùng để biểu diễn thuật toán trước khi viết chương trình bao gồm: sử dụng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước một cách dễ hiểu, sử dụng sơ đồ khối để biểu diễn trực quan luồng xử lý, và sử dụng giả mã (pseudocode) để mô tả thuật toán một cách chính xác hơn, gần với ngôn ngữ lập trình nhưng vẫn dễ đọc và hiểu.

Nguyên lý chuồng bồ câu (hay còn gọi là nguyên lý Dirichlet hoặc nguyên lý hộp) phát biểu rằng nếu có N vật thể được đặt vào K hộp, với N > K, thì ít nhất một hộp phải chứa nhiều hơn một vật thể. Tổng quát hơn, nếu có N đồ vật được đặt vào K hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất ⌈N/K⌉ đồ vật. Trong đó, ⌈x⌉ là hàm ceiling, trả về số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x.

Phương án A chính xác theo phát biểu nguyên lý chuồng bồ câu tổng quát.

Phương án B là công thức bù trừ (nguyên lý bao hàm - loại trừ) để tính số phần tử của hợp các tập hợp hữu hạn.

Phương án C là công thức tính số phần tử của tích Descartes của các tập hợp hữu hạn.

Phương án D là công thức tính số phần tử của hợp các tập hợp rời nhau.

Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là \(\overline{A}_{n}^{k}\), được tính bằng công thức \(n^k\).

* Phương án A: n! Đây là công thức tính số hoán vị của n phần tử, không phải chỉnh hợp lặp.
* Phương án B: n! / k!(n-k)! Đây là công thức tính tổ hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là \(C_n^k\), không phải chỉnh hợp lặp.
* Phương án C: Nk Đây là công thức đúng để tính số các chỉnh hợp lặp chập k của n, thường được viết là \(n^k\).
* Phương án D: n!/(n-k)! Đây là công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ký hiệu là \(A_n^k\), không phải chỉnh hợp lặp.

Vậy, đáp án đúng là C.

Đoạn chương trình trên là một vòng lặp `Repeat...Until`.

Ban đầu, `m = 4`, `n = 5`, và `i = 5`. Vòng lặp sẽ tiếp tục cho đến khi điều kiện `(i Mod m = 0) and (i Mod n = 0)` trở thành đúng.

Chúng ta hãy theo dõi giá trị của `i` trong mỗi lần lặp:

- Lần lặp 1: `i = 5`. Điều kiện `(5 Mod 4 = 0) and (5 Mod 5 = 0)` tương đương với `(1 = 0) and (0 = 0)`, tức là `False and True`, kết quả là `False`. `i` được cập nhật thành `i = 5 + 1 = 6`.
- Lần lặp 2: `i = 6`. Điều kiện `(6 Mod 4 = 0) and (6 Mod 5 = 0)` tương đương với `(2 = 0) and (1 = 0)`, tức là `False and False`, kết quả là `False`. `i` được cập nhật thành `i = 6 + 1 = 7`.
- Lần lặp 3: `i = 7`. Điều kiện `(7 Mod 4 = 0) and (7 Mod 5 = 0)` tương đương với `(3 = 0) and (2 = 0)`, tức là `False and False`, kết quả là `False`. `i` được cập nhật thành `i = 7 + 1 = 8`.
- Lần lặp 4: `i = 8`. Điều kiện `(8 Mod 4 = 0) and (8 Mod 5 = 0)` tương đương với `(0 = 0) and (3 = 0)`, tức là `True and False`, kết quả là `False`. `i` được cập nhật thành `i = 8 + 1 = 9`.
- Lần lặp 5: `i = 9`. Điều kiện `(9 Mod 4 = 0) and (9 Mod 5 = 0)` tương đương với `(1 = 0) and (4 = 0)`, tức là `False and False`, kết quả là `False`. `i` được cập nhật thành `i = 9 + 1 = 10`.
- Lần lặp 6: `i = 10`. Điều kiện `(10 Mod 4 = 0) and (10 Mod 5 = 0)` tương đương với `(2 = 0) and (0 = 0)`, tức là `False and True`, kết quả là `False`. `i` được cập nhật thành `i = 10 + 1 = 11`.
- ...
- Lần lặp n: ta tìm số `i` chia hết cho cả 4 và 5, tức là `i` là bội chung nhỏ nhất của 4 và 5. BCNN(4, 5) = 20.

Vậy, ta cần tìm `i` sao cho `i >= 5` và `i` là bội của 20. Các giá trị có thể của `i` là 20, 40, 60, ...
Vì `i` bắt đầu từ 5 và tăng dần lên 1, vậy nên để `i` đạt giá trị 20, cần 15 lần lặp.
- Lần lặp 15: `i = 5 + 15 = 20`. Điều kiện `(20 Mod 4 = 0) and (20 Mod 5 = 0)` tương đương với `(0 = 0) and (0 = 0)`, tức là `True and True`, kết quả là `True`. Vòng lặp dừng lại.

Vậy giá trị cuối cùng của `i` là 20.

Thuật toán trên thực chất là tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai số a và b.

* Bước 1: a = 81, b = 54. Vì a > b, nên Test(81, 54) gọi Test(81-54, 54) = Test(27, 54).
* Bước 2: a = 27, b = 54. Vì a < b, nên Test(27, 54) gọi Test(27, 54-27) = Test(27, 27).
* Bước 3: a = 27, b = 27. Vì a không lớn hơn b và cũng không nhỏ hơn b, nên điều kiện (a=0) or (b=0) không thỏa mãn. Tuy nhiên, vì a=b nên thuật toán sẽ lặp lại đến khi một trong hai số bằng 0. Ta có thể nhận thấy rằng Test(27,27) = Test(0,27) hoặc Test(27,0)
* Bước 4: a = 0, b = 27. Vì a = 0, nên Test(0, 27) trả về a + b = 0 + 27 = 27.

Vậy, kết quả đúng là 27.