Đồ thị vô hướng có 10 đỉnh, bậc của mỗi đỉnh lớn hơn hoặc bằng 5. Hỏi phát biểu “G luôn là đồ thị liên thông” là đúng hay sai?

Để một hàm số f: R -> R khả nghịch, nó phải là một song ánh, tức là vừa đơn ánh (injective) và vừa toàn ánh (surjective).

* A. f(x) = x² − 4x + 5: Đây là một hàm bậc hai. Ta có thể viết lại f(x) = (x - 2)² + 1. Vì (x - 2)² ≥ 0, nên f(x) ≥ 1. Hàm này không toàn ánh vì không có giá trị x nào để f(x) = 0 (ví dụ). Hơn nữa, f(1) = f(3) = 2, nên hàm này không đơn ánh. Vậy hàm này không khả nghịch.

* B. f(x) = x⁴: Hàm này cũng không khả nghịch. Ví dụ, f(1) = f(-1) = 1, nên nó không đơn ánh. Hơn nữa, x⁴ ≥ 0, nên nó cũng không toàn ánh vì không có giá trị x nào để f(x) = -1 (ví dụ).

* C. f(x) = x³: Hàm này là một hàm bậc ba. Với mọi y thuộc R, tồn tại duy nhất một x thuộc R sao cho x³ = y, cụ thể là x = căn bậc ba của y. Vậy hàm này vừa đơn ánh vừa toàn ánh, do đó nó khả nghịch.

* D. f(x) = 6 − x²: Hàm này không khả nghịch. Ví dụ, f(1) = f(-1) = 5, nên nó không đơn ánh. Hàm này cũng không toàn ánh vì f(x) ≤ 6 với mọi x thuộc R. Ví dụ không có giá trị x nào để f(x) = 7.

Vậy đáp án đúng là C.

Ta cần tìm số lượng phần tử ít nhất cần lấy ra từ tập A để chắc chắn có một cặp số có tổng bằng 20.

Các cặp số trong tập A có tổng bằng 20 là: (1, 19), (3, 17), (5, 15), (7, 13), (9, 11).

Để chắc chắn có ít nhất một cặp có tổng bằng 20, ta cần xét trường hợp xấu nhất là lấy ra các số mà không tạo thành cặp nào có tổng bằng 20.

Ta có thể lấy ra các số: 1, 3, 5, 7, 9. Khi đó ta đã lấy ra 5 số và chưa có cặp nào có tổng bằng 20. Ta có thể lấy thêm số 10 là số không thuộc tập A, nhưng vì bài toán yêu cầu lấy từ tập A nên ta phải xét các phần tử còn lại.

Nếu ta lấy thêm bất kỳ một số nào trong các số còn lại của tập A (11, 13, 15, 17, 19), ta sẽ tạo thành một cặp có tổng bằng 20.

Ví dụ: Nếu ta lấy thêm số 11, ta có cặp (9, 11) có tổng bằng 20.
Nếu ta lấy thêm số 13, ta có cặp (7, 13) có tổng bằng 20.
Nếu ta lấy thêm số 15, ta có cặp (5, 15) có tổng bằng 20.
Nếu ta lấy thêm số 17, ta có cặp (3, 17) có tổng bằng 20.
Nếu ta lấy thêm số 19, ta có cặp (1, 19) có tổng bằng 20.

Vậy, ta cần lấy ra 5 số {1, 3, 5, 7, 9} trước, sau đó lấy thêm 1 số bất kỳ trong các số còn lại để tạo thành một cặp có tổng bằng 20. Vậy ta cần lấy ít nhất 6 phần tử.

Một cách khác, ta có thể lấy các số lớn hơn 10, tức là {11, 13, 15, 17, 19}. Như vậy, ta lấy 5 số này, không có cặp nào có tổng bằng 20. Nếu ta lấy thêm bất kỳ số nào từ tập {1, 3, 5, 7, 9}, ta cũng sẽ có một cặp có tổng bằng 20. Vậy số phần tử ít nhất cần lấy là 6.

Do đó, đáp án đúng là 6.

Số tập con có ít hơn ba phần tử bao gồm các tập con có 0 phần tử, 1 phần tử và 2 phần tử.

- Số tập con có 0 phần tử là C(100, 0) = 1.
- Số tập con có 1 phần tử là C(100, 1) = 100.
- Số tập con có 2 phần tử là C(100, 2) = 100! / (2! * 98!) = (100 * 99) / 2 = 4950.

Vậy tổng số tập con có ít hơn ba phần tử là 1 + 100 + 4950 = 5051.

Để trao giải thưởng cho 20 người, ta cần chọn ra 3 người để trao giải Nhất, Nhì, Ba, sau đó xếp thứ tự các giải cho 3 người này, và cuối cùng là trao 17 giải khuyến khích cho 17 người còn lại.

Bước 1: Chọn 3 vé trong 20 vé để trao giải Nhất, Nhì, Ba. Số cách chọn là C(20, 3) = 20! / (3! * 17!) = (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 1140.
Bước 2: Xếp thứ tự 3 giải Nhất, Nhì, Ba cho 3 vé đã chọn. Số cách xếp là 3! = 3 * 2 * 1 = 6.
Bước 3: Trao 17 giải còn lại cho 17 người, có 17! cách. Tuy nhiên, đề bài chỉ hỏi số cách trao giải thưởng cho 20 người, nên ta chỉ cần quan tâm đến việc chọn 3 người nhận giải Nhất, Nhì, Ba và thứ tự của chúng.

Vậy tổng số cách trao giải là C(20,3) * 3! = 1140 * 6 = 6840.

Vậy đáp án đúng là D. 6840.