Cho tích phân \(I = \oint\limits_C {\frac{{(2x - 5y)dx + (5x + 2y)dy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \) với \(C\) là biên của hình phẳng D: \({x^2} + {y^2} \le 9\), theo chiều dương, bạn A lập luận "Ta đặt \(P = \frac{{2x - 5y}}{{{x^2} + {y^2}}}\) và \(Q = \frac{{5x + 2y}}{{{x^2} + {y^2}}},{Q'_x} - {P'_y} = 0,C\) là đường cong kín, chiều dương, giới hạn miền D nên \(I = 0\)". Hỏi bạn A làm vậy có đúng không? Nếu sai, thì sửa lại đáp án chính xác.
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Bạn A lập luận sai vì miền D chứa điểm (0,0) là điểm kỳ dị của hàm dưới dấu tích phân. Do đó, không thể áp dụng trực tiếp định lý Green.
Để tính tích phân này, ta sử dụng công thức:
\(I = \oint\limits_C {\frac{{(2x - 5y)dx + (5x + 2y)dy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \)
Tham số hóa đường tròn C: \(x = 3\cos t, y = 3\sin t, 0 \le t \le 2\pi\)
\(dx = -3\sin t dt, dy = 3\cos t dt\)
Thay vào tích phân, ta được:
\(I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(6\cos t - 15\sin t)(-3\sin t) + (15\cos t + 6\sin t)(3\cos t)}}{{9\cos^2 t + 9\sin^2 t}}dt} \)
\(I = \int_0^{2\pi } {\frac{{-18\cos t\sin t + 45\sin^2 t + 45\cos^2 t + 18\sin t\cos t}}{9}dt} \)
\(I = \int_0^{2\pi } {\frac{{45(\sin^2 t + \cos^2 t)}}{9}dt} = \int_0^{2\pi } {5dt} = 5t\Big|_0^{2\pi } = 10\pi\)
Vậy, đáp án đúng là \(I = 10\pi\).
