Tính với S là mặt \(z = {x^2} + {y^2}\) với \(z \le 1\), hướng xuống dưới.

Để tính tích phân đường loại 2 \(\oint_C {{x^2}{y^3}dx + dy + zdz} \) dọc theo đường tròn \(C\): \({x^2} + {y^2} = 1\), \(z = 0\) với chiều dương giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \), ta sử dụng định lý Stokes. Định lý Stokes phát biểu rằng: \(\oint_C Pdx + Qdy + Rdz = \iint_S (\frac{{\partial R}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial z}})dydz + (\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}{{\partial x}})dzdx + (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dxdy\) Trong trường hợp này, ta có \(P = x^2y^3\), \(Q = 1\), và \(R = z\). Tính các đạo hàm riêng: \(\frac{{\partial R}}{{\partial y}} = 0\) \(\frac{{\partial Q}}{{\partial z}} = 0\) \(\frac{{\partial P}}{{\partial z}} = 0\) \(\frac{{\partial R}}{{\partial x}} = 0\) \(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 0\) \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 3x^2y^2\) Thay vào công thức Stokes, ta được: \(\oint_C x^2y^3dx + dy + zdz = \iint_S (0 - 0)dydz + (0 - 0)dzdx + (0 - 3x^2y^2)dxdy = -3\iint_S x^2y^2 dxdy\) Miền \(S\) là hình tròn \(x^2 + y^2 \le 1\). Ta chuyển sang tọa độ cực: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(dxdy = rdrd\theta\). \(\iint_S x^2y^2 dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta)(r^2\sin^2\theta) rdrd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta drd\theta\) Tính tích phân theo \(r\): \(\int_0^1 r^5 dr = \frac{r^6}{6} \Big|_0^1 = \frac{1}{6}\) Tính tích phân theo \(\theta\): \(\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta = \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2}\sin(2\theta))^2 d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2(2\theta) d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} d\theta\) \(= \frac{1}{8} [\theta - \frac{\sin(4\theta)}{4}] \Big|_0^{2\pi} = \frac{1}{8} (2\pi) = \frac{\pi}{4}\) Vậy, \(\iint_S x^2y^2 dxdy = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{24}\) Do đó, \(\oint_C x^2y^3dx + dy + zdz = -3 \cdot \frac{\pi}{24} = -\frac{\pi}{8}\) Vậy đáp án là D. \(\frac{{ - \pi }}{8}\)

Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 2. Ta có thể sử dụng định lý Ostrogradsky để chuyển tích phân mặt thành tích phân thể. Gọi \(\vec{F} = \left( { - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}; - \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }};\frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}} \right)\) Khi đó, \(I = \oint_S {\vec{F} \cdot \vec{n} dS} \) Tính divergence của \(\vec{F}\): \(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}}\) với \(P = - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\), \(Q = - \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\), \(R = \frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\) \(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = - 2\frac{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} - x\frac{{4x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}}}{{1 + 4{x^2} + 4{y^2}}} = - 2\frac{{1 + 4{x^2} + 4{y^2} - 4{x^2}}}{{{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^{3/2}}}} = - \frac{2}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} \) Tương tự, \(\frac{{\partial Q}}{{\partial y}} = - \frac{2}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} \) \(\frac{{\partial R}}{{\partial z}} = 0\) Vậy \(\nabla \cdot \vec{F} = - \frac{4}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }}\) Áp dụng định lý Ostrogradsky, ta có: \(I = \iiint_V {\nabla \cdot \vec{F} dV} = \iiint_V { - \frac{4}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} dV} \) Chuyển sang tọa độ trụ: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\). Khi đó, \(dV = rdrd\theta dz\). \(x^2 + y^2 = z\) nên \(r^2 = z\). Giới hạn tích phân: \(0 \le z \le 4\), \(0 \le r \le \sqrt{z}\), \(0 \le \theta \le 2\pi\). \(I = \int_0^{2\pi } {d\theta } \int_0^4 {dz} \int_0^{\sqrt z } { - \frac{{4r}}{{\sqrt {{{(1 + 4{r^2})}^3}} }}dr} = - 8\pi \int_0^4 {\left[ { - \frac{1}{{4\sqrt {1 + 4{r^2}} }}} \right]_0^{\sqrt z } dz} = 2\pi \int_0^4 {\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + 4z} }} - 1} \right)dz} \) \(I = 2\pi \left[ {\frac{1}{2}\sqrt {1 + 4z} - z} \right]_0^4 = 2\pi \left( {\frac{{\sqrt {17} }}{2} - 4 - \frac{1}{2} + 0} \right) = (\sqrt {17} - 9)\pi \) Có vẻ như không có đáp án nào đúng. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán.

Để tính diện tích mặt paraboloid \(z = 4x - x^2 - y^2\) nằm phía trên mặt Oxy, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tham số hóa mặt paraboloid:** Đặt \(r(x, y) = (x, y, 4x - x^2 - y^2)\). 2. **Tính các đạo hàm riêng:** \(r_x = (1, 0, 4 - 2x)\) \(r_y = (0, 1, -2y)\) 3. **Tính tích có hướng của các đạo hàm riêng:** \(r_x \times r_y = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4-2x \\ 0 & 1 & -2y \end{vmatrix} = (-4 + 2x)i + 2yj + k = (2x - 4, 2y, 1)\) 4. **Tính độ dài của tích có hướng:** \(\|r_x \times r_y\| = \sqrt{(2x - 4)^2 + (2y)^2 + 1^2} = \sqrt{4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 + 1} = \sqrt{4(x^2 - 4x + 4) + 4y^2 + 1} = \sqrt{4((x-2)^2 + y^2) + 1}\) 5. **Tìm miền D:** Mặt paraboloid nằm phía trên mặt Oxy, tức là \(z \ge 0\). Vậy, \(4x - x^2 - y^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 \le 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 + y^2 \le 4\). Đây là hình tròn tâm (2, 0) bán kính 2. 6. **Tính tích phân mặt:** Diện tích mặt S là \(\iint_D \|r_x \times r_y\| dA = \iint_D \sqrt{4((x-2)^2 + y^2) + 1} dA\) Đổi sang tọa độ cực: \(x - 2 = r\cos\theta, y = r\sin\theta, 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi\) \(dA = r dr d\theta\) \(S = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \sqrt{4r^2 + 1} r dr d\theta\) Đặt \(u = 4r^2 + 1 \Rightarrow du = 8r dr \Rightarrow r dr = \frac{1}{8} du\) Khi \(r = 0, u = 1\); khi \(r = 2, u = 17\) \(S = \int_0^{2\pi} \int_1^{17} \sqrt{u} \frac{1}{8} du d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} d\theta = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} (17\sqrt{17} - 1) d\theta = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 1) \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{(17\sqrt{17} - 1)2\pi}{12} = \frac{(17\sqrt{17} - 1)\pi}{6}\) Vậy \(a = 17\) và \(b = 6\), suy ra \(a + b = 17 + 6 = 23\).

Để tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\), ta có thể tham số hóa mặt như sau: \(r(y, z) = (y^2 + z^2, y, z)\) Miền tham số là \(D = {(y, z) | y^2 + z^2 \le 1}\). Ta tính các đạo hàm riêng: \(r_y = (2y, 1, 0)\) \(r_z = (2z, 0, 1)\) Tích có hướng của hai vector này là: \(r_y \times r_z = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2y & 1 & 0 \\ 2z & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, -2y, -2z)\) Độ dài của vector pháp tuyến là: \(|r_y \times r_z| = \sqrt{1 + 4y^2 + 4z^2}\) Diện tích mặt S được tính bởi: \(S = \iint_D |r_y \times r_z| dA = \iint_D \sqrt{1 + 4y^2 + 4z^2} dydz\) Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(y = r \cos \theta, z = r \sin \theta\), và \(dydz = rdrd\theta\). Miền D trở thành \(0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\). Khi đó: \(S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1 + 4r^2} r dr d\theta\) Tính tích phân: Đặt \(u = 1 + 4r^2\), suy ra \(du = 8r dr\), hay \(rdr = \frac{1}{8}du\). Khi \(r = 0\), \(u = 1\). Khi \(r = 1\), \(u = 5\). \(S = \int_0^{2\pi} \int_1^5 \sqrt{u} \frac{1}{8} du d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^5 d\theta\) \(S = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} (5\sqrt{5} - 1) d\theta = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} \int_0^{2\pi} d\theta\) \(S = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} (2\pi) = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)\) Vậy diện tích phần mặt paraboloid là \(\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)\).