Tính tích phân \(I = \oint_S {\frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}} ( - 2xdydz - 2ydzdx + dxdy)\) với \(S\) là mặt có phương trình \(z = {x^2} + {y^2}\), \(0 \le z \le 4\) theo chiều \(z \ge 0\)

Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 2. Ta có thể sử dụng định lý Ostrogradsky để chuyển tích phân mặt thành tích phân thể. Gọi \(\vec{F} = \left( { - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}; - \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }};\frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}} \right)\) Khi đó, \(I = \oint_S {\vec{F} \cdot \vec{n} dS} \) Tính divergence của \(\vec{F}\): \(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}}\) với \(P = - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\), \(Q = - \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\), \(R = \frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\) \(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = - 2\frac{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} - x\frac{{4x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}}}{{1 + 4{x^2} + 4{y^2}}} = - 2\frac{{1 + 4{x^2} + 4{y^2} - 4{x^2}}}{{{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^{3/2}}}} = - \frac{2}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} \) Tương tự, \(\frac{{\partial Q}}{{\partial y}} = - \frac{2}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} \) \(\frac{{\partial R}}{{\partial z}} = 0\) Vậy \(\nabla \cdot \vec{F} = - \frac{4}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }}\) Áp dụng định lý Ostrogradsky, ta có: \(I = \iiint_V {\nabla \cdot \vec{F} dV} = \iiint_V { - \frac{4}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} dV} \) Chuyển sang tọa độ trụ: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\). Khi đó, \(dV = rdrd\theta dz\). \(x^2 + y^2 = z\) nên \(r^2 = z\). Giới hạn tích phân: \(0 \le z \le 4\), \(0 \le r \le \sqrt{z}\), \(0 \le \theta \le 2\pi\). \(I = \int_0^{2\pi } {d\theta } \int_0^4 {dz} \int_0^{\sqrt z } { - \frac{{4r}}{{\sqrt {{{(1 + 4{r^2})}^3}} }}dr} = - 8\pi \int_0^4 {\left[ { - \frac{1}{{4\sqrt {1 + 4{r^2}} }}} \right]_0^{\sqrt z } dz} = 2\pi \int_0^4 {\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + 4z} }} - 1} \right)dz} \) \(I = 2\pi \left[ {\frac{1}{2}\sqrt {1 + 4z} - z} \right]_0^4 = 2\pi \left( {\frac{{\sqrt {17} }}{2} - 4 - \frac{1}{2} + 0} \right) = (\sqrt {17} - 9)\pi \) Có vẻ như không có đáp án nào đúng. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán.