Biết\(\vec F = (3{x^2} - 3{y^2}z)\vec i + (arctanz - 6xyz)\vec j + (\frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2})\vec k\) là trường thế, tìm hàm thế vị.
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tìm hàm thế vị \(u\) cho trường vector \(\vec F = (3{x^2} - 3{y^2}z)\vec i + (arctanz - 6xyz)\vec j + (\frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2})\vec k\), ta cần tìm một hàm \(u(x, y, z)\) sao cho \(\vec F = \nabla u\), tức là:
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3{x^2} - 3{y^2}z\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = arctanz - 6xyz\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2}\)
Từ phương trình thứ nhất, ta tích phân theo \(x\):
\(u(x, y, z) = \int (3{x^2} - 3{y^2}z) dx = {x^3} - 3x{y^2}z + f(y, z)\)
Trong đó \(f(y, z)\) là một hàm chỉ phụ thuộc vào \(y\) và \(z\).
Tiếp theo, ta lấy đạo hàm của \(u(x, y, z)\) theo \(y\):
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -6xyz + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\)
So sánh với phương trình thứ hai, ta có:
\(arctanz - 6xyz = -6xyz + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\)
Suy ra:
\(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = arctanz\)
Tích phân theo \(y\):
\(f(y, z) = \int arctanz dy = y arctanz + g(z)\)
Trong đó \(g(z)\) là một hàm chỉ phụ thuộc vào \(z\).
Vậy:
\(u(x, y, z) = {x^3} - 3x{y^2}z + y arctanz + g(z)\)
Cuối cùng, ta lấy đạo hàm của \(u(x, y, z)\) theo \(z\):
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{y}{{1 + {z^2}}} + g'(z)\)
So sánh với phương trình thứ ba, ta có:
\(\frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2} = \frac{y}{{1 + {z^2}}} + g'(z)\)
Suy ra:
\(g'(z) = 3x{y^2}\) => Cái này bị sai vì g'(z) chỉ có thể phụ thuộc z.
Kiểm tra lại các bước, ta thấy sai sót ở chỗ lấy tích phân hàm F.
Chọn đáp án D và kiểm tra:
\(u = {x^3} - 3x{y^2}z + yarctanz + C\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3{x^2} - 3{y^2}z\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -6xyz + arctanz\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3x{y^2} + \frac{y}{{1 + {z^2}}}\)
Vậy đáp án D đúng.
