Tìm m để \(\int_C {(mx - y)} ds = - 18\) với \(C:y = \sqrt {9 - {x^2}} \)

Để tính tích phân đường loại 1 \(\int_C {(x + y)} ds\), ta cần tham số hóa đường cong C. Đường cong C được cho bởi phương trình \(r^2 = \cos 2\varphi\) trong tọa độ cực, với \(-\frac{\pi }{4} \le \varphi \le \frac{\pi }{4}\).

Đổi sang tọa độ Descartes, ta có \(x = r\cos \varphi\) và \(y = r\sin \varphi\). Suy ra \(x = \sqrt{\cos 2\varphi} \cos \varphi\) và \(y = \sqrt{\cos 2\varphi} \sin \varphi\).

Khi đó, ta có \(x'(\varphi) = \frac{-\sin 2\varphi}{\sqrt{\cos 2\varphi}} \cos \varphi - \sqrt{\cos 2\varphi} \sin \varphi\) và \(y'(\varphi) = \frac{-\sin 2\varphi}{\sqrt{\cos 2\varphi}} \sin \varphi + \sqrt{\cos 2\varphi} \cos \varphi\).

Ta tính \(ds = \sqrt{x'(\varphi)^2 + y'(\varphi)^2} d\varphi\).

\(x'(\varphi)^2 = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} \cos^2 \varphi + 2\sin 2\varphi \cos \varphi \sin \varphi + \cos 2\varphi \sin^2 \varphi\)
\(y'(\varphi)^2 = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} \sin^2 \varphi - 2\sin 2\varphi \cos \varphi \sin \varphi + \cos 2\varphi \cos^2 \varphi\)

Cộng lại ta được:
\(x'(\varphi)^2 + y'(\varphi)^2 = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi}(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) + \cos 2\varphi (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} + \cos 2\varphi = \frac{\sin^2 2\varphi + \cos^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} = \frac{1}{\cos 2\varphi}\)

Vậy \(ds = \sqrt{\frac{1}{\cos 2\varphi}} d\varphi = \frac{1}{\sqrt{\cos 2\varphi}} d\varphi\).

Tiếp theo ta tính \(x + y = \sqrt{\cos 2\varphi} (\cos \varphi + \sin \varphi)\).

Do đó, \(\int_C {(x + y)} ds = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2\varphi} (\cos \varphi + \sin \varphi) \frac{1}{\sqrt{\cos 2\varphi}} d\varphi = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos \varphi + \sin \varphi) d\varphi\).

\(= [\sin \varphi - \cos \varphi]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}\).

Để tính tích phân đường \(\int_L x y ds\) trên chu tuyến hình chữ nhật ABCD, ta cần tính tích phân trên từng cạnh của hình chữ nhật và cộng lại.

1. Cạnh AB: \(A(0,0)\) đến \(B(4,0)\).
- Tham số hóa: \(x = t, y = 0, 0 \leq t \leq 4\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{AB} x y ds = 0\).

2. Cạnh BC: \(B(4,0)\) đến \(C(4,2)\).
- Tham số hóa: \(x = 4, y = t, 0 \leq t \leq 2\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{BC} x y ds = 8\).

3. Cạnh CD: \(C(4,2)\) đến \(D(0,2)\).
- Tham số hóa: \(x = 4 - t, y = 2, 0 \leq t \leq 4\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{CD} x y ds = 16\).

4. Cạnh DA: \(D(0,2)\) đến \(A(0,0)\).
- Tham số hóa: \(x = 0, y = 2 - t, 0 \leq t \leq 2\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{DA} x y ds = 0\).

Vậy, \(\int_L x y ds = 0 + 8 + 16 + 0 = 24\).

Ta cần tính tích phân đường \(\oint_C xyds\) với C là biên của miền \(|x| + |y| \le 1\). Miền này là một hình vuông có các đỉnh là (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1). Ta sẽ tham số hóa từng cạnh của hình vuông và tính tích phân trên mỗi cạnh.

1. Cạnh C1: từ (1, 0) đến (0, 1). Tham số hóa: x = 1 - t, y = t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = -dt, dy = dt, và ds = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C1 là:
\(\int_{C1} xyds = \int_0^1 (1-t)t\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = \sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{6}\)

2. Cạnh C2: từ (0, 1) đến (-1, 0). Tham số hóa: x = -t, y = 1 - t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = -dt, dy = -dt, và ds = \(\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C2 là:
\(\int_{C2} xyds = \int_0^1 (-t)(1-t)\sqrt{2}dt = -\sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = -\sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = -\sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\)

3. Cạnh C3: từ (-1, 0) đến (0, -1). Tham số hóa: x = -1 + t, y = -t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = dt, dy = -dt, và ds = \(\sqrt{1^2 + (-1)^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C3 là:
\(\int_{C3} xyds = \int_0^1 (-1+t)(-t)\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = \sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{6}\)

4. Cạnh C4: từ (0, -1) đến (1, 0). Tham số hóa: x = t, y = -1 + t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = dt, dy = dt, và ds = \(\sqrt{1^2 + 1^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C4 là:
\(\int_{C4} xyds = \int_0^1 (t)(-1+t)\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (-t + t^2)dt = \sqrt{2} [-\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\)

Vậy, \(\oint_C xyds = \int_{C1} + \int_{C2} + \int_{C3} + \int_{C4} = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} = 0\).

Đường cong L có phương trình x^2 + y^2 = 2x là một đường tròn có tâm tại (1, 0) và bán kính 1. Ta có thể chuyển sang tọa độ cực: x = rcos(θ), y = rsin(θ). Phương trình trở thành r^2 = 2rcos(θ) => r = 2cos(θ). Khi đó, \(\sqrt{x^2 + y^2} = r = 2cos(\theta)\). ds = \(\sqrt{dx^2 + dy^2}\) = \(\sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta\) = \(\sqrt{(2cos(\theta))^2 + (-2sin(\theta))^2} d\theta\) = 2dθ. Giới hạn của θ là từ -π/2 đến π/2.

Do đó, \(\int_L {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } ds = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2cos(\theta) * 2 d\theta = 4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\theta) d\theta = 4[sin(\theta)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4[1 - (-1)] = 8\).

Để tính tích phân đường loại 2 \(\int_{AB} {(x - 3y)} dx + 2ydy\) trên cung \(y = 1 - {x^2}\) từ \(A(1,0)\) đến \(B( - 1,0)\), ta thực hiện như sau:

1. Tham số hóa đường cong:
Vì \(y = 1 - x^2\), ta có thể đặt \(x = t\). Khi đó, \(y = 1 - t^2\). Vì điểm A có \(x = 1\) và điểm B có \(x = -1\), tham số t sẽ chạy từ 1 đến -1.

2. Tính đạo hàm:
Ta có \(dx = dt\) và \(dy = -2t dt\).

3. Thay vào tích phân:
Thay \(x = t\), \(y = 1 - t^2\), \(dx = dt\), và \(dy = -2t dt\) vào tích phân, ta được:

\(\int_{1}^{-1} {(t - 3(1 - t^2))} dt + 2(1 - t^2)(-2t)dt\)

\(= \int_{1}^{-1} {(t - 3 + 3t^2 - 4t + 4t^3)} dt\)

\(= \int_{1}^{-1} {(4t^3 + 3t^2 - 3t - 3)} dt\)

4. Tính tích phân xác định:
\(= [t^4 + t^3 - \frac{3}{2}t^2 - 3t]_{1}^{-1}\)

\(= [((-1)^4 + (-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 3(-1)) - (1^4 + 1^3 - \frac{3}{2}(1)^2 - 3(1))]\)

\(= [(1 - 1 - \frac{3}{2} + 3) - (1 + 1 - \frac{3}{2} - 3)]\)

\(= [(\frac{3}{2}) - (-\frac{1}{2})]\)

\(= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2\)

Vậy, kết quả của tích phân là 2.