Tìm m để \(\int_C {(x + xy)} dx + m{x^2}dy = \frac{{ - 10}}{3}\) với \(C\) là cung bé trên đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) đi từ \(A( - 2,0)\) đến \(B(0,2)\)

Để giải bài toán này, ta sử dụng tích phân đường loại hai. Ta có tích phân đường \(\int_C Pdx + Qdy = \int_C (x+xy)dx + mx^2dy\) với \(P = x+xy\) và \(Q = mx^2\). C là cung tròn \(x^2 + y^2 = 4\) đi từ \(A(-2,0)\) đến \(B(0,2)\). Ta tham số hóa đường tròn: \(x = 2\cos t\), \(y = 2\sin t\). Vì đi từ \(A(-2,0)\) đến \(B(0,2)\), \(t\) sẽ đi từ \(π\) đến \(\frac{π}{2}\). Vậy \(dx = -2\sin t dt\) và \(dy = 2\cos t dt\). Thay vào tích phân, ta có: \(\int_C (x+xy)dx + mx^2dy = \int_π^{\frac{π}{2}} (2\cos t + 4\cos t \sin t)(-2\sin t) + m(4\cos^2 t)(2\cos t) dt\) \(= \int_π^{\frac{π}{2}} (-4\cos t \sin t - 8\cos t \sin^2 t + 8m\cos^3 t) dt\) \(= \int_π^{\frac{π}{2}} (-4\cos t \sin t - 8\cos t \sin^2 t + 8m\cos t(1-\sin^2 t)) dt\) \(= \int_π^{\frac{π}{2}} (-4\cos t \sin t - 8\cos t \sin^2 t + 8m\cos t - 8m\cos t \sin^2 t) dt\) \(= \int_π^{\frac{π}{2}} -4\cos t \sin t dt - \int_π^{\frac{π}{2}} 8\cos t \sin^2 t dt + \int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t dt - \int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t \sin^2 t dt\) Xét các tích phân: 1. \(\int_π^{\frac{π}{2}} -4\cos t \sin t dt = 2\int_π^{\frac{π}{2}} -2\sin t \cos t dt = 2\int_π^{\frac{π}{2}} -\sin 2t dt = 2[\frac{1}{2}\cos 2t]_π^{\frac{π}{2}} = [\cos 2t]_π^{\frac{π}{2}} = \cos π - \cos 2π = -1 - 1 = -2\) 2. \(\int_π^{\frac{π}{2}} 8\cos t \sin^2 t dt = 8\int_π^{\frac{π}{2}} \sin^2 t d(\sin t) = 8[\frac{\sin^3 t}{3}]_π^{\frac{π}{2}} = \frac{8}{3} [\sin^3(\frac{π}{2}) - \sin^3(π)] = \frac{8}{3} (1 - 0) = \frac{8}{3}\) 3. \(\int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t dt = 8m[\sin t]_π^{\frac{π}{2}} = 8m(\sin(\frac{π}{2}) - \sin(π)) = 8m(1-0) = 8m\) 4. \(\int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t \sin^2 t dt = 8m\int_π^{\frac{π}{2}} \sin^2 t d(\sin t) = 8m[\frac{\sin^3 t}{3}]_π^{\frac{π}{2}} = \frac{8m}{3} [\sin^3(\frac{π}{2}) - \sin^3(π)] = \frac{8m}{3} (1 - 0) = \frac{8m}{3}\) Vậy, \(\int_C (x+xy)dx + mx^2dy = -2 - \frac{8}{3} + 8m - \frac{8m}{3} = -2 - \frac{8}{3} + \frac{16m}{3} = \frac{-14}{3} + \frac{16m}{3}\). Theo đề bài, \(\int_C (x+xy)dx + mx^2dy = \frac{-10}{3}\). Do đó: \(\frac{-14}{3} + \frac{16m}{3} = \frac{-10}{3}\) \(\frac{16m}{3} = \frac{4}{3}\) \(16m = 4\) \(m = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\) Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả \(m = \frac{1}{4}\). Có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc đề bài. Kiểm tra lại các bước tính tích phân và tham số hóa.