Tìm m để tích phân \(\int\limits_L {{e^{{x^2} + y}} + \left[ {2x{y^2}dx + ({y^2} + m.y)dy} \right] = e} \) với L là đường \(x = 1 - {y^2}\) đi từ \(A(1,0)\) đến \(B(0,1)\)

Ta có \(L: y = \sqrt{2x - x^2} \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1\), đây là nửa đường tròn tâm \(I(1,0)\), bán kính \(R=1\), đi từ \(O(0,0)\) đến \(A(2,0)\).
Xét tích phân đường \(\int_L \frac{x e^{x^2+y^2} dx + y e^{x^2+y^2} dy}{(x-1)^2 + y^2}\)
Đặt \(P(x,y) = \frac{x e^{x^2+y^2}}{(x-1)^2 + y^2}, Q(x,y) = \frac{y e^{x^2+y^2}}{(x-1)^2 + y^2}\)
Ta thấy \(P, Q\) không xác định tại \((1,0)\). Do đó ta xét đường tròn nhỏ \(L_1: (x-1)^2 + y^2 = r^2\), \(L_1\) đi theo chiều kim đồng hồ.
Khi đó \(\oint_{L \cup L_1} \frac{x e^{x^2+y^2} dx + y e^{x^2+y^2} dy}{(x-1)^2 + y^2} = 0\) (vì miền bị chặn không chứa điểm \((1,0)\).
Do đó \(\int_L \frac{x e^{x^2+y^2} dx + y e^{x^2+y^2} dy}{(x-1)^2 + y^2} = - \int_{L_1} \frac{x e^{x^2+y^2} dx + y e^{x^2+y^2} dy}{(x-1)^2 + y^2}\)
Tham số hóa \(L_1: x = 1 + r \cos t, y = r \sin t, t: \pi \to 0\)
Khi đó \(\int_L = - \int_{\pi}^0 \frac{(1+r\cos t) e^{(1+r\cos t)^2 + (r \sin t)^2} (-r \sin t) + (r \sin t) e^{(1+r\cos t)^2 + (r \sin t)^2} (r \cos t)}{r^2} dt\)
\(= \int_0^{\pi} \frac{(-r \sin t - r^2 \sin t \cos t + r^2 \sin t \cos t) e^{1 + 2r \cos t + r^2} }{r^2} dt = \int_0^{\pi} \frac{-r \sin t e^{1+2r \cos t + r^2}}{r^2} dt\)
\(= - \int_0^{\pi} \frac{\sin t e^{1+2r \cos t + r^2}}{r} dt = \frac{e^{1+2r \cos t + r^2}}{2r^2} \Big|_0^{\pi} = \frac{e^{1-2r+r^2} - e^{1+2r+r^2}}{2r^2}\)
Khi \(r \to 0\), áp dụng L'Hospital ta có
\(\lim_{r \to 0} \frac{e^{(1-r)^2} - e^{(1+r)^2}}{2r^2} = \lim_{r \to 0} \frac{-2(1-r) e^{(1-r)^2} - 2(1+r) e^{(1+r)^2}}{4r} \)
\(= \lim_{r \to 0} \frac{2 e^{(1-r)^2} - 2(1-r)^2 e^{(1-r)^2} - 2e^{(1+r)^2} - 2(1+r)^2 e^{(1+r)^2}}{4} = \frac{2e - 2e - 2e - 2e}{4} = -e\)
Vậy đáp án là \(\int_L = -e\), không có đáp án đúng.

Bạn A lập luận sai vì miền D chứa điểm (0,0) là điểm kỳ dị của hàm dưới dấu tích phân. Do đó, không thể áp dụng trực tiếp định lý Green.
Để tính tích phân này, ta sử dụng công thức:
\(I = \oint\limits_C {\frac{{(2x - 5y)dx + (5x + 2y)dy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \)
Tham số hóa đường tròn C: \(x = 3\cos t, y = 3\sin t, 0 \le t \le 2\pi\)
\(dx = -3\sin t dt, dy = 3\cos t dt\)
Thay vào tích phân, ta được:
\(I = \int_0^{2\pi } {\frac{{(6\cos t - 15\sin t)(-3\sin t) + (15\cos t + 6\sin t)(3\cos t)}}{{9\cos^2 t + 9\sin^2 t}}dt} \)
\(I = \int_0^{2\pi } {\frac{{-18\cos t\sin t + 45\sin^2 t + 45\cos^2 t + 18\sin t\cos t}}{9}dt} \)
\(I = \int_0^{2\pi } {\frac{{45(\sin^2 t + \cos^2 t)}}{9}dt} = \int_0^{2\pi } {5dt} = 5t\Big|_0^{2\pi } = 10\pi\)
Vậy, đáp án đúng là \(I = 10\pi\).

We have the curve AB given by \(y = m - x^2\). Therefore, \(dy = -2xdx\). Substituting into the integral, we get:
\(\int_{AB} (x - 3y)dx + 2ydy = \int_{1}^{-1} (x - 3(m - x^2))dx + 2(m - x^2)(-2x)dx = 4\)
\(\int_{1}^{-1} (x - 3m + 3x^2 - 4mx + 4x^3)dx = 4\)
\(\int_{1}^{-1} (4x^3 + 3x^2 + (1-4m)x - 3m)dx = 4\)
Since \(\int_{1}^{-1} 4x^3 dx = 0\) and \(\int_{1}^{-1} (1-4m)x dx = 0\) (as they are odd functions integrated over a symmetric interval), the integral becomes:
\(\int_{1}^{-1} (3x^2 - 3m)dx = 4\)
\([x^3 - 3mx]_{1}^{-1} = 4\)
\((-1 + 3m) - (1 - 3m) = 4\)
\(-2 + 6m = 4\)
\(6m = 6\)
\(m = 1\)
Therefore, m = 1.