Tìm m để tích phân \(\int\limits_{AB} {(x - 3y)dx + 2ydy = 4} \) với \(AB:y = m - {x^2}\) và hai điểm \(A(1,0),B( - 1,0)\)

\(1\)

\( - 1\)

\(2\)

\( - 2\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

We have the curve AB given by \(y = m - x^2\). Therefore, \(dy = -2xdx\). Substituting into the integral, we get: \(\int_{AB} (x - 3y)dx + 2ydy = \int_{1}^{-1} (x - 3(m - x^2))dx + 2(m - x^2)(-2x)dx = 4\) \(\int_{1}^{-1} (x - 3m + 3x^2 - 4mx + 4x^3)dx = 4\) \(\int_{1}^{-1} (4x^3 + 3x^2 + (1-4m)x - 3m)dx = 4\) Since \(\int_{1}^{-1} 4x^3 dx = 0\) and \(\int_{1}^{-1} (1-4m)x dx = 0\) (as they are odd functions integrated over a symmetric interval), the integral becomes: \(\int_{1}^{-1} (3x^2 - 3m)dx = 4\) \([x^3 - 3mx]_{1}^{-1} = 4\) \((-1 + 3m) - (1 - 3m) = 4\) \(-2 + 6m = 4\) \(6m = 6\) \(m = 1\) Therefore, m = 1.

Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 2 kèm đáp án chi tiết - Phần 2

40 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Tính \(\int\limits_L {(2xy - 5)dx + (2x + 3y)dy} \) với \(L\) là biên của miền D xác định bởi các đường \(y = {x^2},y = 0,x = 1\), chiều dương

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân đường loại hai \(\int\limits_L {(2xy - 5)dx + (2x + 3y)dy} \), ta sử dụng công thức Green. Miền D được giới hạn bởi các đường \(y = x^2\), \(y = 0\), và \(x = 1\). Công thức Green cho ta:

\(\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dA\)

Trong trường hợp này, \(P = 2xy - 5\) và \(Q = 2x + 3y\). Tính các đạo hàm riêng:

\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 2\)

\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2x\)

Vậy,

\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2 - 2x\)

Áp dụng công thức Green, ta có:

\(\int\limits_L {(2xy - 5)dx + (2x + 3y)dy} = \iint_D (2 - 2x)dA = \int_0^1 \int_0^{x^2} (2 - 2x) dy dx\)

Tính tích phân bên trong:

\(\int_0^{x^2} (2 - 2x) dy = (2 - 2x) \int_0^{x^2} dy = (2 - 2x) [y]_0^{x^2} = (2 - 2x)x^2 = 2x^2 - 2x^3\)

Tính tích phân bên ngoài:

\(\int_0^1 (2x^2 - 2x^3) dx = \left[ \frac{{2x^3}}{3} - \frac{{2x^4}}{4} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{2}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}\)

Vậy, kết quả là \(\frac{1}{6}\).

Câu 21:

Tính công của lực \(\overrightarrow F = (x + 2y)\vec i + (3x + 4y)\vec j\) làm dịch chuyển một chất điểm từ \(A(1,3)\) đến \(B(2,4)\) dọc theo đoạn thẳng AB. (đvc: đơn vị công)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu 22:

Tính khối lượng của đường cong vật chất \(L\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\) biết hàm mật độ là \(p(x,y) = {x^2}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính khối lượng của đường cong vật chất L có phương trình \(x^2 + y^2 = 1\) với hàm mật độ \(p(x, y) = x^2\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tham số hóa đường cong:
Đường tròn \(x^2 + y^2 = 1\) có thể được tham số hóa bằng:
\(x = \cos(t)\)
\(y = \sin(t)\)
với \(0 \le t \le 2\pi\)

2. Tính vi phân độ dài cung:
\(dx = -\sin(t) dt\)
\(dy = \cos(t) dt\)
\(ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{(-\sin(t) dt)^2 + (\cos(t) dt)^2} = dt\)

3. Tính khối lượng:
Khối lượng \(m\) được tính bằng tích phân đường:
\(m = \int_L p(x, y) ds = \int_0^{2\pi} (\cos^2(t)) dt\)

4. Tính tích phân:
\(\int_0^{2\pi} \cos^2(t) dt = \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos(2t)) dt = \frac{1}{2} [t + \frac{1}{2}\sin(2t)]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} [2\pi + 0 - (0 + 0)] = \pi\)

Vậy, khối lượng của đường cong là \(\pi\) (đvkl).

Do đó, đáp án đúng là D.

Câu 23:

Biết S là phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn x ≤ 1. Kết luận nào sau đây là chính xác?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 24:

Biết với S là mặt \(z = \frac{2}{3}({x^{3/2}} + {y^{3/2}})\) với điều kiện \(0 \le x \le 2,0 \le y \le 1\). Tìm khẳng định đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tích phân mặt loại 2 trên mặt S cho trước. Mặt S được cho bởi phương trình \(z = \frac{2}{3}({x^{3/2}} + {y^{3/2}})\) với \(0 \le x \le 2,0 \le y \le 1\).

Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp tích phân cần tính mà chỉ hỏi về một khẳng định đúng liên quan đến `a` và `b`. Do không có thông tin về `a` và `b` (chúng là gì, được tính như thế nào), không thể xác định khẳng định nào là đúng. Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Vì không thể xác định đáp án chính xác, chúng ta không thể cung cấp một lời giải chi tiết dựa trên các thông tin được cung cấp trong câu hỏi.

Câu 25:

Tính với S là phần mặt nón y = \(\sqrt {{x^2} + {z^2}} ,1 \le y \le 2\)

Lời giải: