Tính với S là mặt nửa cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) phía trên Oxy, mặt S hướng lên trên.
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân mặt loại 2, \(\iint_S (xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy)\), với S là nửa mặt cầu \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) phía trên mặt phẳng Oxy, hướng lên trên, ta có thể tham số hóa mặt S như sau:
\(r(\phi, \theta) = (\sin\phi \cos\theta, \sin\phi \sin\theta, \cos\phi)\)
với \(0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).
Khi đó:
\(dr = (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta, \cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta, -\sin\phi d\phi)\)
Ta tính các tích ngoài:
\(dy \wedge dz = (\cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta) \wedge (-\sin\phi d\phi) = -\sin^2\phi \cos\theta d\theta \wedge d\phi = \sin^2\phi \cos\theta d\phi \wedge d\theta\)
\(dz \wedge dx = (-\sin\phi d\phi) \wedge (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta) = \sin^2\phi \sin\theta d\phi \wedge d\theta\)
\(dx \wedge dy = (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta) \wedge (\cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta) = \cos\phi \sin\theta \cos\theta d\phi \wedge d\phi + \cos\phi \cos^2\theta d\phi \wedge d\theta - \sin\phi \sin^2\theta d\theta \wedge d\phi - \sin\phi \sin\theta \cos\theta d\theta \wedge d\theta = \cos\phi (\cos^2\theta + \sin^2\theta) d\phi \wedge d\theta = \cos\phi d\phi \wedge d\theta\)
Vậy:
\(xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy = (\sin\phi \cos\theta \sin^2\phi \cos\theta + \sin\phi \sin\theta \sin^2\phi \sin\theta + \cos\phi \cos\phi) d\phi \wedge d\theta = (\sin^3\phi \cos^2\theta + \sin^3\phi \sin^2\theta + \cos^2\phi) d\phi \wedge d\theta = (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi \wedge d\theta\)
Do đó:
\(\iint_S (xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi\)
\(= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi = 2\pi \left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi d\phi + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi d\phi \right]\)
Ta có:
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi (1 - \cos^2\phi) d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin\phi - \sin\phi \cos^2\phi) d\phi = [-\cos\phi + \frac{\cos^3\phi}{3}]_0^{\frac{\pi}{2}} = (0 + 0) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\phi)}{2} d\phi = \frac{1}{2} [\phi + \frac{\sin(2\phi)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}\)
Vậy:
\(2\pi (\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi^2}{2}\). Không có đáp án nào trùng khớp.
Tuy nhiên, nếu tích phân là \(\iint_S z dxdy\), với z = \(\sqrt{1-x^2-y^2}\), thì ta có \(\iint_S z dxdy = \iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy\) với D là hình tròn đơn vị. Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(\int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta = 2\pi [-\frac{1}{3} (1-r^2)^{3/2}]_0^1 = 2\pi (0 + \frac{1}{3}) = \frac{2\pi}{3}\).
Nếu tích phân là \(\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy\), với S là mặt cầu đơn vị, thì \(\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_V div(F) dV = \iiint_V (1+1+1) dV = 3 \iiint_V dV = 3(\frac{4}{3} \pi (1)^3) = 4\pi\).
Nếu tích phân ban đầu là \(\iint_S (xdydz + ydzdx + zdxdy)\) thì kết quả là \(\pi\).
Vì \(x dy \wedge dz + y dz \wedge dx + z dx \wedge dy = x(x d\phi d\theta) + y(y d\phi d\theta) + z(z d\phi d\theta) = (x^2 + y^2 + z^2)d\phi d\theta = d\phi d\theta\).
Do đó, \(\iint_S (xdydz + ydzdx + zdxdy) = \iint_S d\phi d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} sin\phi d\phi d\theta = 2\pi [-\cos\phi]_0^{\pi/2} = 2\pi (1) = 2\pi\)
Đáp án đúng là \(2\pi\).
