Tính tích phân với \(S\) là mặt \({x^2} + 3{y^2} + {z^4} = 1\), \(z \ge 0\), hướng lên trên.

Để tính diện tích mặt paraboloid \(z = 4x - x^2 - y^2\) nằm phía trên mặt Oxy, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tham số hóa mặt paraboloid:** Đặt \(r(x, y) = (x, y, 4x - x^2 - y^2)\). 2. **Tính các đạo hàm riêng:** \(r_x = (1, 0, 4 - 2x)\) \(r_y = (0, 1, -2y)\) 3. **Tính tích có hướng của các đạo hàm riêng:** \(r_x \times r_y = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4-2x \\ 0 & 1 & -2y \end{vmatrix} = (-4 + 2x)i + 2yj + k = (2x - 4, 2y, 1)\) 4. **Tính độ dài của tích có hướng:** \(\|r_x \times r_y\| = \sqrt{(2x - 4)^2 + (2y)^2 + 1^2} = \sqrt{4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 + 1} = \sqrt{4(x^2 - 4x + 4) + 4y^2 + 1} = \sqrt{4((x-2)^2 + y^2) + 1}\) 5. **Tìm miền D:** Mặt paraboloid nằm phía trên mặt Oxy, tức là \(z \ge 0\). Vậy, \(4x - x^2 - y^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 \le 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 + y^2 \le 4\). Đây là hình tròn tâm (2, 0) bán kính 2. 6. **Tính tích phân mặt:** Diện tích mặt S là \(\iint_D \|r_x \times r_y\| dA = \iint_D \sqrt{4((x-2)^2 + y^2) + 1} dA\) Đổi sang tọa độ cực: \(x - 2 = r\cos\theta, y = r\sin\theta, 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi\) \(dA = r dr d\theta\) \(S = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \sqrt{4r^2 + 1} r dr d\theta\) Đặt \(u = 4r^2 + 1 \Rightarrow du = 8r dr \Rightarrow r dr = \frac{1}{8} du\) Khi \(r = 0, u = 1\); khi \(r = 2, u = 17\) \(S = \int_0^{2\pi} \int_1^{17} \sqrt{u} \frac{1}{8} du d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} d\theta = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} (17\sqrt{17} - 1) d\theta = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 1) \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{(17\sqrt{17} - 1)2\pi}{12} = \frac{(17\sqrt{17} - 1)\pi}{6}\) Vậy \(a = 17\) và \(b = 6\), suy ra \(a + b = 17 + 6 = 23\).

Để tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\), ta có thể tham số hóa mặt như sau: \(r(y, z) = (y^2 + z^2, y, z)\) Miền tham số là \(D = {(y, z) | y^2 + z^2 \le 1}\). Ta tính các đạo hàm riêng: \(r_y = (2y, 1, 0)\) \(r_z = (2z, 0, 1)\) Tích có hướng của hai vector này là: \(r_y \times r_z = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2y & 1 & 0 \\ 2z & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, -2y, -2z)\) Độ dài của vector pháp tuyến là: \(|r_y \times r_z| = \sqrt{1 + 4y^2 + 4z^2}\) Diện tích mặt S được tính bởi: \(S = \iint_D |r_y \times r_z| dA = \iint_D \sqrt{1 + 4y^2 + 4z^2} dydz\) Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(y = r \cos \theta, z = r \sin \theta\), và \(dydz = rdrd\theta\). Miền D trở thành \(0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\). Khi đó: \(S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1 + 4r^2} r dr d\theta\) Tính tích phân: Đặt \(u = 1 + 4r^2\), suy ra \(du = 8r dr\), hay \(rdr = \frac{1}{8}du\). Khi \(r = 0\), \(u = 1\). Khi \(r = 1\), \(u = 5\). \(S = \int_0^{2\pi} \int_1^5 \sqrt{u} \frac{1}{8} du d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^5 d\theta\) \(S = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} (5\sqrt{5} - 1) d\theta = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} \int_0^{2\pi} d\theta\) \(S = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} (2\pi) = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)\) Vậy diện tích phần mặt paraboloid là \(\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)\).

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tính đạo hàm riêng của hàm u(x, y, z):** - ∂u/∂x = 2x / (1 + x^2 + e^(y-z)) - ∂u/∂y = e^(y-z) / (1 + x^2 + e^(y-z)) - ∂u/∂z = -e^(y-z) / (1 + x^2 + e^(y-z)) 2. **Tính các đạo hàm riêng tại điểm O(0, 0, 0):** - ∂u/∂x(0,0,0) = 0 - ∂u/∂y(0,0,0) = 1/2 - ∂u/∂z(0,0,0) = -1/2 3. **Tính vector chỉ phương OA:** - OA = (1, -2, 2) 4. **Tính độ dài của vector OA:** - |OA| = 3 5. **Tính vector đơn vị theo hướng OA:** - l = (1/3, -2/3, 2/3) 6. **Tính đạo hàm theo hướng l tại điểm O(0, 0, 0):** - ∂u/∂l(O) = (∂u/∂x)(O) * lx + (∂u/∂y)(O) * ly + (∂u/∂z)(O) * lz - ∂u/∂l(O) = 0 * (1/3) + (1/2) * (-2/3) + (-1/2) * (2/3) = -2/3 Vậy, ∂u/∂l(O) = -2/3

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính gradient của hàm u tại hai điểm A và B, sau đó tính góc giữa hai vector gradient này. 1. Tính gradient của u: \(u = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}\) \(\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})\) \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) \(\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{-2xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) 2. Tính \(\nabla u\) tại A(1, 2, 2): \(\nabla u(A) = (\frac{2^2 + 2^2 - 1^2}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}) = (\frac{7}{81}, \frac{-4}{81}, \frac{-4}{81})\) 3. Tính \(\nabla u\) tại B(-3, 1, 0): \(\nabla u(B) = (\frac{1^2 + 0^2 - (-3)^2}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(1)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(0)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}) = (\frac{-8}{100}, \frac{6}{100}, 0) = (\frac{-2}{25}, \frac{3}{50}, 0)\) 4. Tính góc \(\theta\) giữa \(\nabla u(A)\) và \(\nabla u(B)\): \(cos(\theta) = \frac{\nabla u(A) \cdot \nabla u(B)}{||\nabla u(A)|| \cdot ||\nabla u(B)||}\) \(\nabla u(A) \cdot \nabla u(B) = (\frac{7}{81})(\frac{-2}{25}) + (\frac{-4}{81})(\frac{3}{50}) + (\frac{-4}{81})(0) = \frac{-14}{2025} - \frac{12}{4050} = \frac{-28 - 12}{4050} = \frac{-40}{4050} = \frac{-4}{405}\) \(||\nabla u(A)|| = \sqrt{(\frac{7}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2} = \sqrt{\frac{49 + 16 + 16}{81^2}} = \sqrt{\frac{81}{81^2}} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}\) \(||\nabla u(B)|| = \sqrt{(\frac{-2}{25})^2 + (\frac{3}{50})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{4}{625} + \frac{9}{2500}} = \sqrt{\frac{16 + 9}{2500}} = \sqrt{\frac{25}{2500}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}\) \(cos(\theta) = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10}} = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{90}} = \frac{-4}{405} \cdot 90 = \frac{-4 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \frac{-8}{81}\) \(\theta = arccos(\frac{-8}{81}) \approx 95.66^\circ\) Vậy góc giữa hai vector gradient tại A và B là \(arccos(\frac{-8}{81})\).