Tính tích phân với \(S\) là mặt \({x^2} + 3{y^2} + {z^4} = 1\), \(z \ge 0\), hướng lên trên.

Để tính diện tích mặt paraboloid \(z = 4x - x^2 - y^2\) nằm phía trên mặt Oxy, ta thực hiện các bước sau:

1. Tham số hóa mặt paraboloid:
Đặt \(r(x, y) = (x, y, 4x - x^2 - y^2)\).

2. Tính các đạo hàm riêng:
\(r_x = (1, 0, 4 - 2x)\)
\(r_y = (0, 1, -2y)\)

3. Tính tích có hướng của các đạo hàm riêng:
\(r_x \times r_y = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4-2x \\ 0 & 1 & -2y \end{vmatrix} = (-4 + 2x)i + 2yj + k = (2x - 4, 2y, 1)\)

4. Tính độ dài của tích có hướng:
\(\|r_x \times r_y\| = \sqrt{(2x - 4)^2 + (2y)^2 + 1^2} = \sqrt{4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 + 1} = \sqrt{4(x^2 - 4x + 4) + 4y^2 + 1} = \sqrt{4((x-2)^2 + y^2) + 1}\)

5. Tìm miền D:
Mặt paraboloid nằm phía trên mặt Oxy, tức là \(z \ge 0\). Vậy, \(4x - x^2 - y^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 \le 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 + y^2 \le 4\). Đây là hình tròn tâm (2, 0) bán kính 2.

6. Tính tích phân mặt:
Diện tích mặt S là \(\iint_D \|r_x \times r_y\| dA = \iint_D \sqrt{4((x-2)^2 + y^2) + 1} dA\)

Đổi sang tọa độ cực: \(x - 2 = r\cos\theta, y = r\sin\theta, 0 \le r \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi\)
\(dA = r dr d\theta\)

\(S = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \sqrt{4r^2 + 1} r dr d\theta\)

Đặt \(u = 4r^2 + 1 \Rightarrow du = 8r dr \Rightarrow r dr = \frac{1}{8} du\)
Khi \(r = 0, u = 1\); khi \(r = 2, u = 17\)

\(S = \int_0^{2\pi} \int_1^{17} \sqrt{u} \frac{1}{8} du d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{17} d\theta = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} (17\sqrt{17} - 1) d\theta = \frac{1}{12} (17\sqrt{17} - 1) \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{(17\sqrt{17} - 1)2\pi}{12} = \frac{(17\sqrt{17} - 1)\pi}{6}\)

Vậy \(a = 17\) và \(b = 6\), suy ra \(a + b = 17 + 6 = 23\).

Để tính diện tích phần mặt paraboloid \(x = {y^2} + {z^2}\) thỏa mãn \(x \le 1\), ta có thể tham số hóa mặt như sau:

\(r(y, z) = (y^2 + z^2, y, z)\)

Miền tham số là \(D = {(y, z) | y^2 + z^2 \le 1}\).

Ta tính các đạo hàm riêng:

\(r_y = (2y, 1, 0)\)

\(r_z = (2z, 0, 1)\)

Tích có hướng của hai vector này là:

\(r_y \times r_z = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2y & 1 & 0 \\ 2z & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, -2y, -2z)\)

Độ dài của vector pháp tuyến là:

\(|r_y \times r_z| = \sqrt{1 + 4y^2 + 4z^2}\)

Diện tích mặt S được tính bởi:

\(S = \iint_D |r_y \times r_z| dA = \iint_D \sqrt{1 + 4y^2 + 4z^2} dydz\)

Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(y = r \cos \theta, z = r \sin \theta\), và \(dydz = rdrd\theta\). Miền D trở thành \(0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\).

Khi đó:

\(S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1 + 4r^2} r dr d\theta\)

Tính tích phân:

Đặt \(u = 1 + 4r^2\), suy ra \(du = 8r dr\), hay \(rdr = \frac{1}{8}du\).

Khi \(r = 0\), \(u = 1\). Khi \(r = 1\), \(u = 5\).

\(S = \int_0^{2\pi} \int_1^5 \sqrt{u} \frac{1}{8} du d\theta = \frac{1}{8} \int_0^{2\pi} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^5 d\theta\)

\(S = \frac{1}{12} \int_0^{2\pi} (5\sqrt{5} - 1) d\theta = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} \int_0^{2\pi} d\theta\)

\(S = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} [\theta]_0^{2\pi} = \frac{5\sqrt{5} - 1}{12} (2\pi) = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)\)

Vậy diện tích phần mặt paraboloid là \(\frac{\pi}{6}(5\sqrt{5} - 1)\).

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm riêng của hàm u(x, y, z):
- ∂u/∂x = 2x / (1 + x^2 + e^(y-z))
- ∂u/∂y = e^(y-z) / (1 + x^2 + e^(y-z))
- ∂u/∂z = -e^(y-z) / (1 + x^2 + e^(y-z))

2. Tính các đạo hàm riêng tại điểm O(0, 0, 0):
- ∂u/∂x(0,0,0) = 0
- ∂u/∂y(0,0,0) = 1/2
- ∂u/∂z(0,0,0) = -1/2

3. Tính vector chỉ phương OA:
- OA = (1, -2, 2)

4. Tính độ dài của vector OA:
- |OA| = 3

5. Tính vector đơn vị theo hướng OA:
- l = (1/3, -2/3, 2/3)

6. Tính đạo hàm theo hướng l tại điểm O(0, 0, 0):
- ∂u/∂l(O) = (∂u/∂x)(O) * lx + (∂u/∂y)(O) * ly + (∂u/∂z)(O) * lz
- ∂u/∂l(O) = 0 * (1/3) + (1/2) * (-2/3) + (-1/2) * (2/3) = -2/3

Vậy, ∂u/∂l(O) = -2/3

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính gradient của hàm u tại hai điểm A và B, sau đó tính góc giữa hai vector gradient này.

1. Tính gradient của u: \(u = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}\)
\(\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})\)
\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\)
\(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\)
\(\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{-2xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\)

2. Tính \(\nabla u\) tại A(1, 2, 2):
\(\nabla u(A) = (\frac{2^2 + 2^2 - 1^2}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}) = (\frac{7}{81}, \frac{-4}{81}, \frac{-4}{81})\)

3. Tính \(\nabla u\) tại B(-3, 1, 0):
\(\nabla u(B) = (\frac{1^2 + 0^2 - (-3)^2}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(1)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(0)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}) = (\frac{-8}{100}, \frac{6}{100}, 0) = (\frac{-2}{25}, \frac{3}{50}, 0)\)

4. Tính góc \(\theta\) giữa \(\nabla u(A)\) và \(\nabla u(B)\):
\(cos(\theta) = \frac{\nabla u(A) \cdot \nabla u(B)}{||\nabla u(A)|| \cdot ||\nabla u(B)||}\)
\(\nabla u(A) \cdot \nabla u(B) = (\frac{7}{81})(\frac{-2}{25}) + (\frac{-4}{81})(\frac{3}{50}) + (\frac{-4}{81})(0) = \frac{-14}{2025} - \frac{12}{4050} = \frac{-28 - 12}{4050} = \frac{-40}{4050} = \frac{-4}{405}\)
\(||\nabla u(A)|| = \sqrt{(\frac{7}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2} = \sqrt{\frac{49 + 16 + 16}{81^2}} = \sqrt{\frac{81}{81^2}} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}\)
\(||\nabla u(B)|| = \sqrt{(\frac{-2}{25})^2 + (\frac{3}{50})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{4}{625} + \frac{9}{2500}} = \sqrt{\frac{16 + 9}{2500}} = \sqrt{\frac{25}{2500}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}\)
\(cos(\theta) = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10}} = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{90}} = \frac{-4}{405} \cdot 90 = \frac{-4 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \frac{-8}{81}\)
\(\theta = arccos(\frac{-8}{81}) \approx 95.66^\circ\)

Vậy góc giữa hai vector gradient tại A và B là \(arccos(\frac{-8}{81})\).