Biết nhiệt độ tại điểm \((x,y,z)\) trong không gian được cho bởi hàm

\(T(x,y,z) = \frac{{80}}{{1 + {x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}\) ở đó \(T\) có đơn vị là \(^oC\) và x, y, z là mét. Theo hướng nào thì nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm \(A(1,1, - 2)\)

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. **Tính đạo hàm riêng của hàm u(x, y, z):** - ∂u/∂x = 2x / (1 + x^2 + e^(y-z)) - ∂u/∂y = e^(y-z) / (1 + x^2 + e^(y-z)) - ∂u/∂z = -e^(y-z) / (1 + x^2 + e^(y-z)) 2. **Tính các đạo hàm riêng tại điểm O(0, 0, 0):** - ∂u/∂x(0,0,0) = 0 - ∂u/∂y(0,0,0) = 1/2 - ∂u/∂z(0,0,0) = -1/2 3. **Tính vector chỉ phương OA:** - OA = (1, -2, 2) 4. **Tính độ dài của vector OA:** - |OA| = 3 5. **Tính vector đơn vị theo hướng OA:** - l = (1/3, -2/3, 2/3) 6. **Tính đạo hàm theo hướng l tại điểm O(0, 0, 0):** - ∂u/∂l(O) = (∂u/∂x)(O) * lx + (∂u/∂y)(O) * ly + (∂u/∂z)(O) * lz - ∂u/∂l(O) = 0 * (1/3) + (1/2) * (-2/3) + (-1/2) * (2/3) = -2/3 Vậy, ∂u/∂l(O) = -2/3

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính gradient của hàm u tại hai điểm A và B, sau đó tính góc giữa hai vector gradient này. 1. Tính gradient của u: \(u = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}\) \(\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})\) \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) \(\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{-2xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) 2. Tính \(\nabla u\) tại A(1, 2, 2): \(\nabla u(A) = (\frac{2^2 + 2^2 - 1^2}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}) = (\frac{7}{81}, \frac{-4}{81}, \frac{-4}{81})\) 3. Tính \(\nabla u\) tại B(-3, 1, 0): \(\nabla u(B) = (\frac{1^2 + 0^2 - (-3)^2}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(1)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(0)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}) = (\frac{-8}{100}, \frac{6}{100}, 0) = (\frac{-2}{25}, \frac{3}{50}, 0)\) 4. Tính góc \(\theta\) giữa \(\nabla u(A)\) và \(\nabla u(B)\): \(cos(\theta) = \frac{\nabla u(A) \cdot \nabla u(B)}{||\nabla u(A)|| \cdot ||\nabla u(B)||}\) \(\nabla u(A) \cdot \nabla u(B) = (\frac{7}{81})(\frac{-2}{25}) + (\frac{-4}{81})(\frac{3}{50}) + (\frac{-4}{81})(0) = \frac{-14}{2025} - \frac{12}{4050} = \frac{-28 - 12}{4050} = \frac{-40}{4050} = \frac{-4}{405}\) \(||\nabla u(A)|| = \sqrt{(\frac{7}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2} = \sqrt{\frac{49 + 16 + 16}{81^2}} = \sqrt{\frac{81}{81^2}} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}\) \(||\nabla u(B)|| = \sqrt{(\frac{-2}{25})^2 + (\frac{3}{50})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{4}{625} + \frac{9}{2500}} = \sqrt{\frac{16 + 9}{2500}} = \sqrt{\frac{25}{2500}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}\) \(cos(\theta) = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10}} = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{90}} = \frac{-4}{405} \cdot 90 = \frac{-4 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \frac{-8}{81}\) \(\theta = arccos(\frac{-8}{81}) \approx 95.66^\circ\) Vậy góc giữa hai vector gradient tại A và B là \(arccos(\frac{-8}{81})\).

Để \(\vec F\) là trường ống thì \(\nabla \cdot \vec F = 0\) Ta có: \(\nabla \cdot \vec F = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}}\) với \(\vec F = P\vec i + Q\vec j + R\vec k\) Suy ra: \(\nabla \cdot \vec F = \frac{{\partial ({x^2}yz)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial (3x{y^2}z)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial (mxy{z^2})}}{{\partial z}} = 2xyz + 6xyz + 2mxyz = (8 + 2m)xyz\) Để \(\nabla \cdot \vec F = 0\) thì \(8 + 2m = 0 \Leftrightarrow m = - 4\) Vậy \(m = -4\) thì \(\vec F\) là trường ống.

Để tìm hàm thế vị \(u\) cho trường vector \(\vec F = (3{x^2} - 3{y^2}z)\vec i + (arctanz - 6xyz)\vec j + (\frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2})\vec k\), ta cần tìm một hàm \(u(x, y, z)\) sao cho \(\vec F = \nabla u\), tức là: \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3{x^2} - 3{y^2}z\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = arctanz - 6xyz\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2}\) Từ phương trình thứ nhất, ta tích phân theo \(x\): \(u(x, y, z) = \int (3{x^2} - 3{y^2}z) dx = {x^3} - 3x{y^2}z + f(y, z)\) Trong đó \(f(y, z)\) là một hàm chỉ phụ thuộc vào \(y\) và \(z\). Tiếp theo, ta lấy đạo hàm của \(u(x, y, z)\) theo \(y\): \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -6xyz + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\) So sánh với phương trình thứ hai, ta có: \(arctanz - 6xyz = -6xyz + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\) Suy ra: \(\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = arctanz\) Tích phân theo \(y\): \(f(y, z) = \int arctanz dy = y arctanz + g(z)\) Trong đó \(g(z)\) là một hàm chỉ phụ thuộc vào \(z\). Vậy: \(u(x, y, z) = {x^3} - 3x{y^2}z + y arctanz + g(z)\) Cuối cùng, ta lấy đạo hàm của \(u(x, y, z)\) theo \(z\): \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{y}{{1 + {z^2}}} + g'(z)\) So sánh với phương trình thứ ba, ta có: \(\frac{y}{{1 + {z^2}}} + 3x{y^2} = \frac{y}{{1 + {z^2}}} + g'(z)\) Suy ra: \(g'(z) = 3x{y^2}\) => Cái này bị sai vì g'(z) chỉ có thể phụ thuộc z. Kiểm tra lại các bước, ta thấy sai sót ở chỗ lấy tích phân hàm F. Chọn đáp án D và kiểm tra: \(u = {x^3} - 3x{y^2}z + yarctanz + C\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3{x^2} - 3{y^2}z\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -6xyz + arctanz\) \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = -3x{y^2} + \frac{y}{{1 + {z^2}}}\) Vậy đáp án D đúng.