Tính góc giữa \(\overrightarrow {grad} u,u = \frac{x}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) tại điểm \(A(1,2,2)\) và \(B( - 3,1,0)\)

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính gradient của hàm u tại hai điểm A và B, sau đó tính góc giữa hai vector gradient này. 1. Tính gradient của u: \(u = \frac{x}{x^2 + y^2 + z^2}\) \(\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})\) \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} = \frac{y^2 + z^2 - x^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) \(\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{-2xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^2}\) 2. Tính \(\nabla u\) tại A(1, 2, 2): \(\nabla u(A) = (\frac{2^2 + 2^2 - 1^2}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}, \frac{-2(1)(2)}{(1^2 + 2^2 + 2^2)^2}) = (\frac{7}{81}, \frac{-4}{81}, \frac{-4}{81})\) 3. Tính \(\nabla u\) tại B(-3, 1, 0): \(\nabla u(B) = (\frac{1^2 + 0^2 - (-3)^2}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(1)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}, \frac{-2(-3)(0)}{((-3)^2 + 1^2 + 0^2)^2}) = (\frac{-8}{100}, \frac{6}{100}, 0) = (\frac{-2}{25}, \frac{3}{50}, 0)\) 4. Tính góc \(\theta\) giữa \(\nabla u(A)\) và \(\nabla u(B)\): \(cos(\theta) = \frac{\nabla u(A) \cdot \nabla u(B)}{||\nabla u(A)|| \cdot ||\nabla u(B)||}\) \(\nabla u(A) \cdot \nabla u(B) = (\frac{7}{81})(\frac{-2}{25}) + (\frac{-4}{81})(\frac{3}{50}) + (\frac{-4}{81})(0) = \frac{-14}{2025} - \frac{12}{4050} = \frac{-28 - 12}{4050} = \frac{-40}{4050} = \frac{-4}{405}\) \(||\nabla u(A)|| = \sqrt{(\frac{7}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2 + (\frac{-4}{81})^2} = \sqrt{\frac{49 + 16 + 16}{81^2}} = \sqrt{\frac{81}{81^2}} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}\) \(||\nabla u(B)|| = \sqrt{(\frac{-2}{25})^2 + (\frac{3}{50})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{4}{625} + \frac{9}{2500}} = \sqrt{\frac{16 + 9}{2500}} = \sqrt{\frac{25}{2500}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}\) \(cos(\theta) = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{10}} = \frac{\frac{-4}{405}}{\frac{1}{90}} = \frac{-4}{405} \cdot 90 = \frac{-4 \cdot 2}{9 \cdot 9} = \frac{-8}{81}\) \(\theta = arccos(\frac{-8}{81}) \approx 95.66^\circ\) Vậy góc giữa hai vector gradient tại A và B là \(arccos(\frac{-8}{81})\).