Tính tích phân \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\sin }^7}x{{\cos }^5}x} } dx\)

Đường cong C là nửa đường tròn tâm O bán kính R=3 nằm phía trên trục Ox. Ta tham số hóa đường cong C như sau:
\(x = 3\cos t, y = 3\sin t, 0 \le t \le \pi\)
Khi đó \(dx = -3\sin t dt, dy = 3\cos t dt\)
\(ds = \sqrt {(\frac{{dx}}{{dt}})^2 + (\frac{{dy}}{{dt}})^2} dt = \sqrt {(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} dt = 3dt\)
Thay vào tích phân đường, ta có:
\(\int_C {(mx - y)ds} = \int_0^{\pi} {(m(3\cos t) - 3\sin t)3dt} = \int_0^{\pi} {(9m\cos t - 9\sin t)dt} = 9m\int_0^{\pi} {\cos t dt} - 9\int_0^{\pi} {\sin t dt} = 9m(\sin t)|_0^{\pi} - 9(-\cos t)|_0^{\pi} = 9m(0 - 0) + 9(\cos \pi - \cos 0) = 9(-1 - 1) = -18\)
Theo đề bài, \(\int_C {(mx - y)ds} = -18\), suy ra -18 = -18. Điều này đúng với mọi m. Tuy nhiên, các đáp án đều là số cụ thể, có lẽ có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các đáp án. Giả sử đề bài đúng và một trong các đáp án là nghiệm, ta sẽ kiểm tra.
Nếu m = 1: \(\int_C {(x - y)ds} = -18\)
Nếu m = 2: \(\int_C {(2x - y)ds} = -18\)
...
Với m = 1, ta có:
\(\int_C {(x - y)ds} = \int_0^{\pi} {(3\cos t - 3\sin t)3dt} = 9\int_0^{\pi} {(\cos t - \sin t)dt} = 9(\sin t + \cos t)|_0^{\pi} = 9((\sin \pi + \cos \pi) - (\sin 0 + \cos 0)) = 9((0 - 1) - (0 + 1)) = 9(-2) = -18\)
Vậy m = 1 thỏa mãn.

Để tính tích phân đường loại 1 \(\int_C {(x + y)} ds\), ta cần tham số hóa đường cong C. Đường cong C được cho bởi phương trình \(r^2 = \cos 2\varphi\) trong tọa độ cực, với \(-\frac{\pi }{4} \le \varphi \le \frac{\pi }{4}\).

Đổi sang tọa độ Descartes, ta có \(x = r\cos \varphi\) và \(y = r\sin \varphi\). Suy ra \(x = \sqrt{\cos 2\varphi} \cos \varphi\) và \(y = \sqrt{\cos 2\varphi} \sin \varphi\).

Khi đó, ta có \(x'(\varphi) = \frac{-\sin 2\varphi}{\sqrt{\cos 2\varphi}} \cos \varphi - \sqrt{\cos 2\varphi} \sin \varphi\) và \(y'(\varphi) = \frac{-\sin 2\varphi}{\sqrt{\cos 2\varphi}} \sin \varphi + \sqrt{\cos 2\varphi} \cos \varphi\).

Ta tính \(ds = \sqrt{x'(\varphi)^2 + y'(\varphi)^2} d\varphi\).

\(x'(\varphi)^2 = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} \cos^2 \varphi + 2\sin 2\varphi \cos \varphi \sin \varphi + \cos 2\varphi \sin^2 \varphi\)
\(y'(\varphi)^2 = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} \sin^2 \varphi - 2\sin 2\varphi \cos \varphi \sin \varphi + \cos 2\varphi \cos^2 \varphi\)

Cộng lại ta được:
\(x'(\varphi)^2 + y'(\varphi)^2 = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi}(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) + \cos 2\varphi (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = \frac{\sin^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} + \cos 2\varphi = \frac{\sin^2 2\varphi + \cos^2 2\varphi}{\cos 2\varphi} = \frac{1}{\cos 2\varphi}\)

Vậy \(ds = \sqrt{\frac{1}{\cos 2\varphi}} d\varphi = \frac{1}{\sqrt{\cos 2\varphi}} d\varphi\).

Tiếp theo ta tính \(x + y = \sqrt{\cos 2\varphi} (\cos \varphi + \sin \varphi)\).

Do đó, \(\int_C {(x + y)} ds = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2\varphi} (\cos \varphi + \sin \varphi) \frac{1}{\sqrt{\cos 2\varphi}} d\varphi = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos \varphi + \sin \varphi) d\varphi\).

\(= [\sin \varphi - \cos \varphi]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}\).

Để tính tích phân đường \(\int_L x y ds\) trên chu tuyến hình chữ nhật ABCD, ta cần tính tích phân trên từng cạnh của hình chữ nhật và cộng lại.

1. Cạnh AB: \(A(0,0)\) đến \(B(4,0)\).
- Tham số hóa: \(x = t, y = 0, 0 \leq t \leq 4\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{AB} x y ds = 0\).

2. Cạnh BC: \(B(4,0)\) đến \(C(4,2)\).
- Tham số hóa: \(x = 4, y = t, 0 \leq t \leq 2\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{BC} x y ds = 8\).

3. Cạnh CD: \(C(4,2)\) đến \(D(0,2)\).
- Tham số hóa: \(x = 4 - t, y = 2, 0 \leq t \leq 4\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{CD} x y ds = 16\).

4. Cạnh DA: \(D(0,2)\) đến \(A(0,0)\).
- Tham số hóa: \(x = 0, y = 2 - t, 0 \leq t \leq 2\).
- \(ds = dt\).
- \(\int_{DA} x y ds = 0\).

Vậy, \(\int_L x y ds = 0 + 8 + 16 + 0 = 24\).

Ta cần tính tích phân đường \(\oint_C xyds\) với C là biên của miền \(|x| + |y| \le 1\). Miền này là một hình vuông có các đỉnh là (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1). Ta sẽ tham số hóa từng cạnh của hình vuông và tính tích phân trên mỗi cạnh.

1. Cạnh C1: từ (1, 0) đến (0, 1). Tham số hóa: x = 1 - t, y = t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = -dt, dy = dt, và ds = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C1 là:
\(\int_{C1} xyds = \int_0^1 (1-t)t\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = \sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{6}\)

2. Cạnh C2: từ (0, 1) đến (-1, 0). Tham số hóa: x = -t, y = 1 - t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = -dt, dy = -dt, và ds = \(\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C2 là:
\(\int_{C2} xyds = \int_0^1 (-t)(1-t)\sqrt{2}dt = -\sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = -\sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = -\sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\)

3. Cạnh C3: từ (-1, 0) đến (0, -1). Tham số hóa: x = -1 + t, y = -t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = dt, dy = -dt, và ds = \(\sqrt{1^2 + (-1)^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C3 là:
\(\int_{C3} xyds = \int_0^1 (-1+t)(-t)\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = \sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{6}\)

4. Cạnh C4: từ (0, -1) đến (1, 0). Tham số hóa: x = t, y = -1 + t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = dt, dy = dt, và ds = \(\sqrt{1^2 + 1^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C4 là:
\(\int_{C4} xyds = \int_0^1 (t)(-1+t)\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (-t + t^2)dt = \sqrt{2} [-\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\)

Vậy, \(\oint_C xyds = \int_{C1} + \int_{C2} + \int_{C3} + \int_{C4} = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} = 0\).

Đường cong L có phương trình x^2 + y^2 = 2x là một đường tròn có tâm tại (1, 0) và bán kính 1. Ta có thể chuyển sang tọa độ cực: x = rcos(θ), y = rsin(θ). Phương trình trở thành r^2 = 2rcos(θ) => r = 2cos(θ). Khi đó, \(\sqrt{x^2 + y^2} = r = 2cos(\theta)\). ds = \(\sqrt{dx^2 + dy^2}\) = \(\sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta\) = \(\sqrt{(2cos(\theta))^2 + (-2sin(\theta))^2} d\theta\) = 2dθ. Giới hạn của θ là từ -π/2 đến π/2.

Do đó, \(\int_L {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } ds = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2cos(\theta) * 2 d\theta = 4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\theta) d\theta = 4[sin(\theta)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4[1 - (-1)] = 8\).