Tính \(\int_L x yds\) với \(L\) là chu tuyến của hình chữ nhật ABCD với \(A(0,0);B(4,0),C(4,2),D(0,2)\)

Ta cần tính tích phân đường \(\oint_C xyds\) với C là biên của miền \(|x| + |y| \le 1\). Miền này là một hình vuông có các đỉnh là (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1). Ta sẽ tham số hóa từng cạnh của hình vuông và tính tích phân trên mỗi cạnh.

1. Cạnh C1: từ (1, 0) đến (0, 1). Tham số hóa: x = 1 - t, y = t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = -dt, dy = dt, và ds = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C1 là:
\(\int_{C1} xyds = \int_0^1 (1-t)t\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = \sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{6}\)

2. Cạnh C2: từ (0, 1) đến (-1, 0). Tham số hóa: x = -t, y = 1 - t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = -dt, dy = -dt, và ds = \(\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C2 là:
\(\int_{C2} xyds = \int_0^1 (-t)(1-t)\sqrt{2}dt = -\sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = -\sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = -\sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\)

3. Cạnh C3: từ (-1, 0) đến (0, -1). Tham số hóa: x = -1 + t, y = -t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = dt, dy = -dt, và ds = \(\sqrt{1^2 + (-1)^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C3 là:
\(\int_{C3} xyds = \int_0^1 (-1+t)(-t)\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (t - t^2)dt = \sqrt{2} [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{6}\)

4. Cạnh C4: từ (0, -1) đến (1, 0). Tham số hóa: x = t, y = -1 + t, với 0 \le t \le 1. Khi đó, dx = dt, dy = dt, và ds = \(\sqrt{1^2 + 1^2}dt = \sqrt{2}dt\). Tích phân trên C4 là:
\(\int_{C4} xyds = \int_0^1 (t)(-1+t)\sqrt{2}dt = \sqrt{2}\int_0^1 (-t + t^2)dt = \sqrt{2} [-\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}]_0^1 = \sqrt{2}(-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{6}\)

Vậy, \(\oint_C xyds = \int_{C1} + \int_{C2} + \int_{C3} + \int_{C4} = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} = 0\).

Đường cong L có phương trình x^2 + y^2 = 2x là một đường tròn có tâm tại (1, 0) và bán kính 1. Ta có thể chuyển sang tọa độ cực: x = rcos(θ), y = rsin(θ). Phương trình trở thành r^2 = 2rcos(θ) => r = 2cos(θ). Khi đó, \(\sqrt{x^2 + y^2} = r = 2cos(\theta)\). ds = \(\sqrt{dx^2 + dy^2}\) = \(\sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta\) = \(\sqrt{(2cos(\theta))^2 + (-2sin(\theta))^2} d\theta\) = 2dθ. Giới hạn của θ là từ -π/2 đến π/2.

Do đó, \(\int_L {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } ds = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2cos(\theta) * 2 d\theta = 4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos(\theta) d\theta = 4[sin(\theta)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 4[1 - (-1)] = 8\).

Để tính tích phân đường loại 2 \(\int_{AB} {(x - 3y)} dx + 2ydy\) trên cung \(y = 1 - {x^2}\) từ \(A(1,0)\) đến \(B( - 1,0)\), ta thực hiện như sau:

1. Tham số hóa đường cong:
Vì \(y = 1 - x^2\), ta có thể đặt \(x = t\). Khi đó, \(y = 1 - t^2\). Vì điểm A có \(x = 1\) và điểm B có \(x = -1\), tham số t sẽ chạy từ 1 đến -1.

2. Tính đạo hàm:
Ta có \(dx = dt\) và \(dy = -2t dt\).

3. Thay vào tích phân:
Thay \(x = t\), \(y = 1 - t^2\), \(dx = dt\), và \(dy = -2t dt\) vào tích phân, ta được:

\(\int_{1}^{-1} {(t - 3(1 - t^2))} dt + 2(1 - t^2)(-2t)dt\)

\(= \int_{1}^{-1} {(t - 3 + 3t^2 - 4t + 4t^3)} dt\)

\(= \int_{1}^{-1} {(4t^3 + 3t^2 - 3t - 3)} dt\)

4. Tính tích phân xác định:
\(= [t^4 + t^3 - \frac{3}{2}t^2 - 3t]_{1}^{-1}\)

\(= [((-1)^4 + (-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 3(-1)) - (1^4 + 1^3 - \frac{3}{2}(1)^2 - 3(1))]\)

\(= [(1 - 1 - \frac{3}{2} + 3) - (1 + 1 - \frac{3}{2} - 3)]\)

\(= [(\frac{3}{2}) - (-\frac{1}{2})]\)

\(= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2\)

Vậy, kết quả của tích phân là 2.

Để giải bài toán này, ta sử dụng tích phân đường loại hai. Ta có tích phân đường \(\int_C Pdx + Qdy = \int_C (x+xy)dx + mx^2dy\) với \(P = x+xy\) và \(Q = mx^2\). C là cung tròn \(x^2 + y^2 = 4\) đi từ \(A(-2,0)\) đến \(B(0,2)\). Ta tham số hóa đường tròn: \(x = 2\cos t\), \(y = 2\sin t\). Vì đi từ \(A(-2,0)\) đến \(B(0,2)\), \(t\) sẽ đi từ \(π\) đến \(\frac{π}{2}\). Vậy \(dx = -2\sin t dt\) và \(dy = 2\cos t dt\). Thay vào tích phân, ta có:
\(\int_C (x+xy)dx + mx^2dy = \int_π^{\frac{π}{2}} (2\cos t + 4\cos t \sin t)(-2\sin t) + m(4\cos^2 t)(2\cos t) dt\)
\(= \int_π^{\frac{π}{2}} (-4\cos t \sin t - 8\cos t \sin^2 t + 8m\cos^3 t) dt\)
\(= \int_π^{\frac{π}{2}} (-4\cos t \sin t - 8\cos t \sin^2 t + 8m\cos t(1-\sin^2 t)) dt\)
\(= \int_π^{\frac{π}{2}} (-4\cos t \sin t - 8\cos t \sin^2 t + 8m\cos t - 8m\cos t \sin^2 t) dt\)
\(= \int_π^{\frac{π}{2}} -4\cos t \sin t dt - \int_π^{\frac{π}{2}} 8\cos t \sin^2 t dt + \int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t dt - \int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t \sin^2 t dt\)
Xét các tích phân:
1. \(\int_π^{\frac{π}{2}} -4\cos t \sin t dt = 2\int_π^{\frac{π}{2}} -2\sin t \cos t dt = 2\int_π^{\frac{π}{2}} -\sin 2t dt = 2[\frac{1}{2}\cos 2t]_π^{\frac{π}{2}} = [\cos 2t]_π^{\frac{π}{2}} = \cos π - \cos 2π = -1 - 1 = -2\)
2. \(\int_π^{\frac{π}{2}} 8\cos t \sin^2 t dt = 8\int_π^{\frac{π}{2}} \sin^2 t d(\sin t) = 8[\frac{\sin^3 t}{3}]_π^{\frac{π}{2}} = \frac{8}{3} [\sin^3(\frac{π}{2}) - \sin^3(π)] = \frac{8}{3} (1 - 0) = \frac{8}{3}\)
3. \(\int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t dt = 8m[\sin t]_π^{\frac{π}{2}} = 8m(\sin(\frac{π}{2}) - \sin(π)) = 8m(1-0) = 8m\)
4. \(\int_π^{\frac{π}{2}} 8m\cos t \sin^2 t dt = 8m\int_π^{\frac{π}{2}} \sin^2 t d(\sin t) = 8m[\frac{\sin^3 t}{3}]_π^{\frac{π}{2}} = \frac{8m}{3} [\sin^3(\frac{π}{2}) - \sin^3(π)] = \frac{8m}{3} (1 - 0) = \frac{8m}{3}\)
Vậy, \(\int_C (x+xy)dx + mx^2dy = -2 - \frac{8}{3} + 8m - \frac{8m}{3} = -2 - \frac{8}{3} + \frac{16m}{3} = \frac{-14}{3} + \frac{16m}{3}\). Theo đề bài, \(\int_C (x+xy)dx + mx^2dy = \frac{-10}{3}\). Do đó:
\(\frac{-14}{3} + \frac{16m}{3} = \frac{-10}{3}\)
\(\frac{16m}{3} = \frac{4}{3}\)
\(16m = 4\)
\(m = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả \(m = \frac{1}{4}\). Có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc đề bài. Kiểm tra lại các bước tính tích phân và tham số hóa.