Tính \(\int\limits_L {(2xy - 5)dx + (2x + 3y)dy} \) với \(L\) là biên của miền D xác định bởi các đường \(y = {x^2},y = 0,x = 1\), chiều dương
Đáp án đúng: D
Để tính tích phân đường loại hai \(\int\limits_L {(2xy - 5)dx + (2x + 3y)dy} \), ta sử dụng công thức Green. Miền D được giới hạn bởi các đường \(y = x^2\), \(y = 0\), và \(x = 1\). Công thức Green cho ta:
\(\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dA\)
Trong trường hợp này, \(P = 2xy - 5\) và \(Q = 2x + 3y\). Tính các đạo hàm riêng:
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 2\)
\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2x\)
Vậy,
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2 - 2x\)
Áp dụng công thức Green, ta có:
\(\int\limits_L {(2xy - 5)dx + (2x + 3y)dy} = \iint_D (2 - 2x)dA = \int_0^1 \int_0^{x^2} (2 - 2x) dy dx\)
Tính tích phân bên trong:
\(\int_0^{x^2} (2 - 2x) dy = (2 - 2x) \int_0^{x^2} dy = (2 - 2x) [y]_0^{x^2} = (2 - 2x)x^2 = 2x^2 - 2x^3\)
Tính tích phân bên ngoài:
\(\int_0^1 (2x^2 - 2x^3) dx = \left[ \frac{{2x^3}}{3} - \frac{{2x^4}}{4} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{2}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}\)
Vậy, kết quả là \(\frac{1}{6}\).
