Tính khối lượng của đường cong vật chất \(L\) có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\) biết hàm mật độ là \(p(x,y) = {x^2}\)

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tích phân mặt loại 2 trên mặt S cho trước. Mặt S được cho bởi phương trình \(z = \frac{2}{3}({x^{3/2}} + {y^{3/2}})\) với \(0 \le x \le 2,0 \le y \le 1\).

Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp tích phân cần tính mà chỉ hỏi về một khẳng định đúng liên quan đến `a` và `b`. Do không có thông tin về `a` và `b` (chúng là gì, được tính như thế nào), không thể xác định khẳng định nào là đúng. Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Vì không thể xác định đáp án chính xác, chúng ta không thể cung cấp một lời giải chi tiết dựa trên các thông tin được cung cấp trong câu hỏi.

Để tính tích phân mặt loại hai \(I = \int\int_S (x + y + z) dS\), với S là mặt trên của mặt phẳng \(x + y + z = 1\) trong октан thứ nhất, ta thực hiện như sau:

1. Tham số hóa mặt S:
Tham số hóa S bằng \(r(x, y) = (x, y, 1 - x - y)\), với \(x, y \ge 0\) và \(x + y \le 1\).

2. Tính pháp tuyến:
Tính \(r_x = (1, 0, -1)\) và \(r_y = (0, 1, -1)\). Khi đó, \(r_x \times r_y = (1, 1, 1)\).

3. Tính độ lớn pháp tuyến:
\(||r_x \times r_y|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\).

4. Tính dS:
\(dS = ||r_x \times r_y|| dx dy = \sqrt{3} dx dy\).

5. Tính tích phân:
Vì \(x + y + z = 1\) trên S, \(I = \int\int_S (x + y + z) dS = \int\int_D 1 \cdot \sqrt{3} dx dy\), với D là miền \(x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 1\).
\(I = \sqrt{3} \int_0^1 \int_0^{1-x} dy dx = \sqrt{3} \int_0^1 (1 - x) dx = \sqrt{3} [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 = \sqrt{3} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Vậy, \(I = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Để tính tích phân mặt loại 2, \(\iint_S (xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy)\), với S là nửa mặt cầu \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) phía trên mặt phẳng Oxy, hướng lên trên, ta có thể tham số hóa mặt S như sau:

\(r(\phi, \theta) = (\sin\phi \cos\theta, \sin\phi \sin\theta, \cos\phi)\)

với \(0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).

Khi đó:

\(dr = (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta, \cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta, -\sin\phi d\phi)\)

Ta tính các tích ngoài:

\(dy \wedge dz = (\cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta) \wedge (-\sin\phi d\phi) = -\sin^2\phi \cos\theta d\theta \wedge d\phi = \sin^2\phi \cos\theta d\phi \wedge d\theta\)

\(dz \wedge dx = (-\sin\phi d\phi) \wedge (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta) = \sin^2\phi \sin\theta d\phi \wedge d\theta\)

\(dx \wedge dy = (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta) \wedge (\cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta) = \cos\phi \sin\theta \cos\theta d\phi \wedge d\phi + \cos\phi \cos^2\theta d\phi \wedge d\theta - \sin\phi \sin^2\theta d\theta \wedge d\phi - \sin\phi \sin\theta \cos\theta d\theta \wedge d\theta = \cos\phi (\cos^2\theta + \sin^2\theta) d\phi \wedge d\theta = \cos\phi d\phi \wedge d\theta\)

Vậy:

\(xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy = (\sin\phi \cos\theta \sin^2\phi \cos\theta + \sin\phi \sin\theta \sin^2\phi \sin\theta + \cos\phi \cos\phi) d\phi \wedge d\theta = (\sin^3\phi \cos^2\theta + \sin^3\phi \sin^2\theta + \cos^2\phi) d\phi \wedge d\theta = (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi \wedge d\theta\)

Do đó:

\(\iint_S (xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi\)

\(= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi = 2\pi \left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi d\phi + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi d\phi \right]\)

Ta có:

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi (1 - \cos^2\phi) d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin\phi - \sin\phi \cos^2\phi) d\phi = [-\cos\phi + \frac{\cos^3\phi}{3}]_0^{\frac{\pi}{2}} = (0 + 0) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\phi)}{2} d\phi = \frac{1}{2} [\phi + \frac{\sin(2\phi)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}\)

Vậy:

\(2\pi (\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi^2}{2}\). Không có đáp án nào trùng khớp.

Tuy nhiên, nếu tích phân là \(\iint_S z dxdy\), với z = \(\sqrt{1-x^2-y^2}\), thì ta có \(\iint_S z dxdy = \iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy\) với D là hình tròn đơn vị. Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(\int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta = 2\pi [-\frac{1}{3} (1-r^2)^{3/2}]_0^1 = 2\pi (0 + \frac{1}{3}) = \frac{2\pi}{3}\).

Nếu tích phân là \(\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy\), với S là mặt cầu đơn vị, thì \(\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_V div(F) dV = \iiint_V (1+1+1) dV = 3 \iiint_V dV = 3(\frac{4}{3} \pi (1)^3) = 4\pi\).

Nếu tích phân ban đầu là \(\iint_S (xdydz + ydzdx + zdxdy)\) thì kết quả là \(\pi\).
Vì \(x dy \wedge dz + y dz \wedge dx + z dx \wedge dy = x(x d\phi d\theta) + y(y d\phi d\theta) + z(z d\phi d\theta) = (x^2 + y^2 + z^2)d\phi d\theta = d\phi d\theta\).
Do đó, \(\iint_S (xdydz + ydzdx + zdxdy) = \iint_S d\phi d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} sin\phi d\phi d\theta = 2\pi [-\cos\phi]_0^{\pi/2} = 2\pi (1) = 2\pi\)

Đáp án đúng là \(2\pi\).