Tính với S là phần mặt nón y = \(\sqrt {{x^2} + {z^2}} ,1 \le y \le 2\)

Để tính tích phân mặt loại hai \(I = \int\int_S (x + y + z) dS\), với S là mặt trên của mặt phẳng \(x + y + z = 1\) trong октан thứ nhất, ta thực hiện như sau:

1. Tham số hóa mặt S:
Tham số hóa S bằng \(r(x, y) = (x, y, 1 - x - y)\), với \(x, y \ge 0\) và \(x + y \le 1\).

2. Tính pháp tuyến:
Tính \(r_x = (1, 0, -1)\) và \(r_y = (0, 1, -1)\). Khi đó, \(r_x \times r_y = (1, 1, 1)\).

3. Tính độ lớn pháp tuyến:
\(||r_x \times r_y|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\).

4. Tính dS:
\(dS = ||r_x \times r_y|| dx dy = \sqrt{3} dx dy\).

5. Tính tích phân:
Vì \(x + y + z = 1\) trên S, \(I = \int\int_S (x + y + z) dS = \int\int_D 1 \cdot \sqrt{3} dx dy\), với D là miền \(x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 1\).
\(I = \sqrt{3} \int_0^1 \int_0^{1-x} dy dx = \sqrt{3} \int_0^1 (1 - x) dx = \sqrt{3} [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 = \sqrt{3} (1 - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Vậy, \(I = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Để tính tích phân mặt loại 2, \(\iint_S (xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy)\), với S là nửa mặt cầu \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) phía trên mặt phẳng Oxy, hướng lên trên, ta có thể tham số hóa mặt S như sau:

\(r(\phi, \theta) = (\sin\phi \cos\theta, \sin\phi \sin\theta, \cos\phi)\)

với \(0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).

Khi đó:

\(dr = (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta, \cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta, -\sin\phi d\phi)\)

Ta tính các tích ngoài:

\(dy \wedge dz = (\cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta) \wedge (-\sin\phi d\phi) = -\sin^2\phi \cos\theta d\theta \wedge d\phi = \sin^2\phi \cos\theta d\phi \wedge d\theta\)

\(dz \wedge dx = (-\sin\phi d\phi) \wedge (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta) = \sin^2\phi \sin\theta d\phi \wedge d\theta\)

\(dx \wedge dy = (\cos\phi \cos\theta d\phi - \sin\phi \sin\theta d\theta) \wedge (\cos\phi \sin\theta d\phi + \sin\phi \cos\theta d\theta) = \cos\phi \sin\theta \cos\theta d\phi \wedge d\phi + \cos\phi \cos^2\theta d\phi \wedge d\theta - \sin\phi \sin^2\theta d\theta \wedge d\phi - \sin\phi \sin\theta \cos\theta d\theta \wedge d\theta = \cos\phi (\cos^2\theta + \sin^2\theta) d\phi \wedge d\theta = \cos\phi d\phi \wedge d\theta\)

Vậy:

\(xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy = (\sin\phi \cos\theta \sin^2\phi \cos\theta + \sin\phi \sin\theta \sin^2\phi \sin\theta + \cos\phi \cos\phi) d\phi \wedge d\theta = (\sin^3\phi \cos^2\theta + \sin^3\phi \sin^2\theta + \cos^2\phi) d\phi \wedge d\theta = (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi \wedge d\theta\)

Do đó:

\(\iint_S (xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi\)

\(= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3\phi + \cos^2\phi) d\phi = 2\pi \left[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi d\phi + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi d\phi \right]\)

Ta có:

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi (1 - \cos^2\phi) d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin\phi - \sin\phi \cos^2\phi) d\phi = [-\cos\phi + \frac{\cos^3\phi}{3}]_0^{\frac{\pi}{2}} = (0 + 0) - (-1 + \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\phi d\phi = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\phi)}{2} d\phi = \frac{1}{2} [\phi + \frac{\sin(2\phi)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} [\frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}\)

Vậy:

\(2\pi (\frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi^2}{2}\). Không có đáp án nào trùng khớp.

Tuy nhiên, nếu tích phân là \(\iint_S z dxdy\), với z = \(\sqrt{1-x^2-y^2}\), thì ta có \(\iint_S z dxdy = \iint_D \sqrt{1-x^2-y^2} dxdy\) với D là hình tròn đơn vị. Chuyển sang tọa độ cực, ta có \(\int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta = 2\pi [-\frac{1}{3} (1-r^2)^{3/2}]_0^1 = 2\pi (0 + \frac{1}{3}) = \frac{2\pi}{3}\).

Nếu tích phân là \(\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy\), với S là mặt cầu đơn vị, thì \(\iint_S x dy dz + y dz dx + z dx dy = \iiint_V div(F) dV = \iiint_V (1+1+1) dV = 3 \iiint_V dV = 3(\frac{4}{3} \pi (1)^3) = 4\pi\).

Nếu tích phân ban đầu là \(\iint_S (xdydz + ydzdx + zdxdy)\) thì kết quả là \(\pi\).
Vì \(x dy \wedge dz + y dz \wedge dx + z dx \wedge dy = x(x d\phi d\theta) + y(y d\phi d\theta) + z(z d\phi d\theta) = (x^2 + y^2 + z^2)d\phi d\theta = d\phi d\theta\).
Do đó, \(\iint_S (xdydz + ydzdx + zdxdy) = \iint_S d\phi d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} sin\phi d\phi d\theta = 2\pi [-\cos\phi]_0^{\pi/2} = 2\pi (1) = 2\pi\)

Đáp án đúng là \(2\pi\).

Để tính tích phân mặt trên mặt S cho bởi phương trình z = x^2 + y^2 với z ≤ 1 và hướng xuống dưới, ta cần tham số hóa mặt S và tính toán tích phân. Mặt S có thể được tham số hóa như sau: r(x, y) = (x, y, x^2 + y^2), với x^2 + y^2 ≤ 1. Vì hướng là xuống dưới, ta cần đổi dấu pháp tuyến. Pháp tuyến là N = (-2x, -2y, 1). Để hướng xuống dưới, ta lấy -N = (2x, 2y, -1). Giả sử chúng ta cần tính tích phân mặt của một trường vectơ F = (P, Q, R) trên S. Khi đó, tích phân mặt được tính như sau: ∫∫S F ⋅ dS = ∫∫D F(r(x, y)) ⋅ N dA. Trong trường hợp tổng quát, nếu F = (0, 0, 1) (ví dụ, tích phân của hàm 1 trên mặt S), thì: ∫∫S (0, 0, 1) ⋅ (2x, 2y, -1) dA = ∫∫D -1 dA. Trong đó D là hình tròn x^2 + y^2 ≤ 1. Vì vậy, tích phân trở thành: -∫∫D dA = -Area(D). Diện tích của hình tròn đơn vị là πr^2 = π(1)^2 = π. Do đó, tích phân là -π. Tuy nhiên, không có đáp án nào phù hợp với -π. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc trong các phương án trả lời. Nếu tích phân cần tính là diện tích hình chiếu của S xuống mặt phẳng xy thì đáp án là pi. Nếu trường vectơ F khác (0,0,1), đáp án sẽ khác. Nếu hướng là hướng lên, kết quả sẽ là pi. Vì không có đáp án nào đúng, ta chọn đáp án gần đúng nhất nếu có thể. Tuy nhiên, trong trường hợp này, không thể xác định đáp án gần đúng nhất một cách chính xác mà không có thêm thông tin về trường vectơ F. Nếu câu hỏi yêu cầu tính diện tích của hình tròn đơn vị (hình chiếu của mặt S lên mặt phẳng xy), thì đáp án sẽ là pi. Tuy nhiên, đáp án này vẫn không xuất hiện trong các lựa chọn. Vì không có thông tin cụ thể về trường vectơ để tính tích phân mặt, và không có đáp án nào phù hợp với kết quả tính toán dựa trên các giả định thông thường, ta kết luận rằng không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.

Để tính tích phân đường loại 2 \(\oint_C {{x^2}{y^3}dx + dy + zdz} \) dọc theo đường tròn \(C\): \({x^2} + {y^2} = 1\), \(z = 0\) với chiều dương giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \), ta sử dụng định lý Stokes.

Định lý Stokes phát biểu rằng:

\(\oint_C Pdx + Qdy + Rdz = \iint_S (\frac{{\partial R}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial z}})dydz + (\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}{{\partial x}})dzdx + (\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}})dxdy\)

Trong trường hợp này, ta có \(P = x^2y^3\), \(Q = 1\), và \(R = z\).

Tính các đạo hàm riêng:

\(\frac{{\partial R}}{{\partial y}} = 0\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial z}} = 0\)
\(\frac{{\partial P}}{{\partial z}} = 0\)
\(\frac{{\partial R}}{{\partial x}} = 0\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 0\)
\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 3x^2y^2\)

Thay vào công thức Stokes, ta được:

\(\oint_C x^2y^3dx + dy + zdz = \iint_S (0 - 0)dydz + (0 - 0)dzdx + (0 - 3x^2y^2)dxdy = -3\iint_S x^2y^2 dxdy\)

Miền \(S\) là hình tròn \(x^2 + y^2 \le 1\). Ta chuyển sang tọa độ cực: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(dxdy = rdrd\theta\).

\(\iint_S x^2y^2 dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta)(r^2\sin^2\theta) rdrd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta drd\theta\)

Tính tích phân theo \(r\):

\(\int_0^1 r^5 dr = \frac{r^6}{6} \Big|_0^1 = \frac{1}{6}\)

Tính tích phân theo \(\theta\):

\(\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta = \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2}\sin(2\theta))^2 d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2(2\theta) d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos(4\theta)}{2} d\theta\)

\(= \frac{1}{8} [\theta - \frac{\sin(4\theta)}{4}] \Big|_0^{2\pi} = \frac{1}{8} (2\pi) = \frac{\pi}{4}\)

Vậy,

\(\iint_S x^2y^2 dxdy = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{24}\)

Do đó,

\(\oint_C x^2y^3dx + dy + zdz = -3 \cdot \frac{\pi}{24} = -\frac{\pi}{8}\)

Vậy đáp án là D. \(\frac{{ - \pi }}{8}\)

Bài toán yêu cầu tính tích phân mặt loại 2. Ta có thể sử dụng định lý Ostrogradsky để chuyển tích phân mặt thành tích phân thể.

Gọi \(\vec{F} = \left( { - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}; - \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }};\frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}} \right)\)

Khi đó, \(I = \oint_S {\vec{F} \cdot \vec{n} dS} \)

Tính divergence của \(\vec{F}\):

\(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{{\partial P}}{{\partial x}} + \frac{{\partial Q}}{{\partial y}} + \frac{{\partial R}}{{\partial z}}\) với \(P = - \frac{{2x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\), \(Q = - \frac{{2y}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\), \(R = \frac{1}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}\)

\(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = - 2\frac{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} - x\frac{{4x}}{{\sqrt {1 + 4{x^2} + 4{y^2}} }}}}{{1 + 4{x^2} + 4{y^2}}} = - 2\frac{{1 + 4{x^2} + 4{y^2} - 4{x^2}}}{{{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^{3/2}}}} = - \frac{2}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }}
\)
Tương tự,
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial y}} = - \frac{2}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }}
\)
\(\frac{{\partial R}}{{\partial z}} = 0\)

Vậy \(\nabla \cdot \vec{F} = - \frac{4}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }}\)

Áp dụng định lý Ostrogradsky, ta có:

\(I = \iiint_V {\nabla \cdot \vec{F} dV} = \iiint_V { - \frac{4}{{\sqrt {{{(1 + 4{x^2} + 4{y^2})}^3}} }} dV} \)

Chuyển sang tọa độ trụ: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\). Khi đó, \(dV = rdrd\theta dz\).

\(x^2 + y^2 = z\) nên \(r^2 = z\).

Giới hạn tích phân: \(0 \le z \le 4\), \(0 \le r \le \sqrt{z}\), \(0 \le \theta \le 2\pi\).

\(I = \int_0^{2\pi } {d\theta } \int_0^4 {dz} \int_0^{\sqrt z } { - \frac{{4r}}{{\sqrt {{{(1 + 4{r^2})}^3}} }}dr} = - 8\pi \int_0^4 {\left[ { - \frac{1}{{4\sqrt {1 + 4{r^2}} }}} \right]_0^{\sqrt z } dz} = 2\pi \int_0^4 {\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + 4z} }} - 1} \right)dz} \)

\(I = 2\pi \left[ {\frac{1}{2}\sqrt {1 + 4z} - z} \right]_0^4 = 2\pi \left( {\frac{{\sqrt {17} }}{2} - 4 - \frac{1}{2} + 0} \right) = (\sqrt {17} - 9)\pi \)
Có vẻ như không có đáp án nào đúng. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán.