Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cho A₁ = {1}, A₂ = {2}, A₃ = {3, 4}, A₄ = {5, 6}. Quan hệ tương đương R trên A sinh ra phân hoạch A₁, A₂, A₃, A₄ là.

Để một quan hệ là quan hệ tương đương, nó phải thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

• Phản xạ: Với mọi a thuộc A, (a, a) phải thuộc quan hệ.
• Đối xứng: Nếu (a, b) thuộc quan hệ thì (b, a) cũng phải thuộc quan hệ.
• Bắc cầu: Nếu (a, b) và (b, c) thuộc quan hệ thì (a, c) cũng phải thuộc quan hệ.

Xét từng phương án:

• Phương án A: {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (2,3), (3,3), (1,5), (5,1)}. Thiếu (5,5), không có tính phản xạ, do đó không phải quan hệ tương đương. (1,3) và (2,3) thuộc quan hệ nhưng (1,2) phải thuộc quan hệ để thỏa mãn tính bắc cầu.
• Phương án B: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)}. Có tính phản xạ (có tất cả (i,i) với i thuộc A). Có tính đối xứng (nếu có (a,b) thì có (b,a)). Có tính bắc cầu. Ví dụ: (1,2) và (2,1) thì có (1,1). (1,3) và (3,1) thì có (1,1).
• Phương án C: {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. Thiếu (5,5), không có tính phản xạ, do đó không phải quan hệ tương đương.
• Phương án D: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,1), (1,2), (3,4), (4,3)}. Có tính phản xạ, có tính đối xứng. Tuy nhiên, (2,1) và (1,2) thuộc quan hệ, (3,4) và (4,3) thuộc quan hệ, nhưng lại không có các cặp (2,3), (3,2), (1,4), (4,1) nên không có tính bắc cầu.

Vậy đáp án đúng là B.

Để tìm lớp tương đương của phần tử -7 theo quan hệ R, ta cần tìm tất cả các phần tử b trong tập A sao cho a ≡ b (mod 4) với a = -7. Điều này có nghĩa là -7 và b có cùng số dư khi chia cho 4, hay (b - (-7)) chia hết cho 4, tức là (b + 7) chia hết cho 4.

Xét các phần tử trong tập A:

\n
• -12: -12 + 7 = -5 (không chia hết cho 4)
\n
• -11: -11 + 7 = -4 (chia hết cho 4)
\n
• -10: -10 + 7 = -3 (không chia hết cho 4)
\n
• -9: -9 + 7 = -2 (không chia hết cho 4)
\n
• -8: -8 + 7 = -1 (không chia hết cho 4)
\n
• -7: -7 + 7 = 0 (chia hết cho 4)
\n
• -6: -6 + 7 = 1 (không chia hết cho 4)
\n
• -5: -5 + 7 = 2 (không chia hết cho 4)
\n
• -3: -3 + 7 = 4 (chia hết cho 4)
\n
• 1: 1 + 7 = 8 (chia hết cho 4)
\n
• 5: 5 + 7 = 12 (chia hết cho 4)
\n
• 9: 9 + 7 = 16 (chia hết cho 4)
\n

Vậy, lớp tương đương của -7 là tập hợp các phần tử b trong A sao cho (b + 7) chia hết cho 4. Các phần tử thỏa mãn là: -11, -7, -3, 1, 5, 9.

So sánh với các đáp án, ta thấy đáp án B là đúng.

Mệnh đề P↔Q (P tương đương Q) là mệnh đề chỉ đúng khi P và Q có cùng giá trị chân lý (cùng đúng hoặc cùng sai). Trong trường hợp P và Q có giá trị chân lý khác nhau (một đúng, một sai), mệnh đề P↔Q sai.