Trong một phiên tòa có 3 bị can, lời khai của 3 bị can đều đúng sự thật và lời khai cụ thể như sau.

- Anh An: Chị Bình có tội và anh Công vô tội

- Chị Bình: Nếu anh An có tội thì anh Công có tội

- Anh Công: Tôi vô tội nhưng một trong 2 người kia có tội.

Áp dụng logic mệnh đề cho biết ai là người có tội trong phiên tòa này.

Để chứng minh "tích của 2 số hữu tỷ là một số hữu tỷ", ta sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp.

Giải thích:
* Số hữu tỷ: Một số hữu tỷ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0.
* Chứng minh trực tiếp: Phương pháp này bắt đầu từ các giả thiết đã biết hoặc được cho là đúng, sau đó sử dụng các quy tắc logic và các định lý đã được chứng minh trước đó để suy ra kết luận cần chứng minh.

Áp dụng vào bài toán:
Giả sử ta có hai số hữu tỷ là x = a/b và y = c/d, với a, b, c, d là các số nguyên và b, d khác 0.
Tích của hai số này là: x * y = (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d).
Vì a, b, c, d là các số nguyên, nên a*c và b*d cũng là các số nguyên. Hơn nữa, vì b và d khác 0, nên b*d cũng khác 0. Do đó, (a*c) / (b*d) là một số hữu tỷ (vì nó có dạng phân số của hai số nguyên, với mẫu khác 0).

Như vậy, từ giả thiết (hai số hữu tỷ x và y), ta đã trực tiếp suy ra được kết luận (tích của chúng là một số hữu tỷ) mà không cần dùng đến các phương pháp chứng minh gián tiếp, phản chứng hay phân chia trường hợp.

Các phương án khác:
* Chứng minh gián tiếp: Thường sử dụng khi chứng minh trực tiếp gặp khó khăn, bằng cách chứng minh một mệnh đề tương đương đúng.
* Chứng minh phản chứng: Giả sử điều cần chứng minh là sai, sau đó dẫn đến mâu thuẫn, từ đó suy ra điều giả sử là sai và điều cần chứng minh là đúng.
* Chứng minh phân chia trường hợp: Chia bài toán thành các trường hợp khác nhau, rồi chứng minh kết luận đúng trong từng trường hợp.

Bài toán này liên quan đến lý thuyết đồ thị và cụ thể là định lý Ramsey. Ta xét một người A bất kỳ trong nhóm 6 người. Theo đề bài, A có thể là bạn hoặc thù với 5 người còn lại. Theo nguyên lý Dirichlet, A phải là bạn hoặc thù với ít nhất 3 người.

* Trường hợp 1: A là bạn với ít nhất 3 người, gọi 3 người đó là B, C, D. Nếu có bất kỳ cặp nào trong B, C, D là bạn của nhau, ví dụ B và C là bạn, thì ta có 3 người A, B, C là bạn của nhau. Ngược lại, nếu không có cặp nào trong B, C, D là bạn của nhau, thì B, C, D là thù của nhau. Vậy ta có 3 người là thù của nhau.

* Trường hợp 2: A là thù với ít nhất 3 người, gọi 3 người đó là E, F, G. Nếu có bất kỳ cặp nào trong E, F, G là thù của nhau, ví dụ E và F là thù, thì ta có 3 người A, E, F là thù của nhau. Ngược lại, nếu không có cặp nào trong E, F, G là thù của nhau, thì E, F, G là bạn của nhau. Vậy ta có 3 người là bạn của nhau.

Như vậy, trong mọi trường hợp, luôn tồn tại 3 người là bạn của nhau hoặc là thù của nhau.

Công thức tổ hợp chập r của n (ký hiệu C(n, r) hoặc $C_n^r$) có tính chất C(n, r) = C(n, n-r). Các phương án khác không đúng theo định nghĩa và tính chất của tổ hợp.

Để tính giai thừa của 10 (10!), ta cần một vòng lặp nhân tích lũy từ 1 đến 10.

Phương án A: `S := 1; i := 1; while i <= 10 do S := S * i; i := i + 1;`
- Khởi tạo S = 1 và i = 1.
- Trong vòng lặp `while i <= 10`, S được nhân với i, và i tăng lên 1.
- Vòng lặp này thực hiện đúng việc tính tích từ 1 đến 10.

Phương án B: `S := 1; i := 1; while i <= 10 do i := i + 1; S := S * i;`
- Khởi tạo S = 1 và i = 1.
- Trong vòng lặp `while i <= 10`, i tăng lên 1 *trước* khi S được nhân với i. Do đó sau vòng lặp, i = 11 và S chỉ được nhân với 11 một lần duy nhất, không phải tính giai thừa.

Phương án C: `S := 0; i := 1; while i <= 10 do begin S := S * i; i := i + 1; end;`
- Khởi tạo S = 0 và i = 1.
- Vì S khởi đầu bằng 0, sau mỗi lần lặp `S := S * i`, S vẫn bằng 0. Do đó, kết quả cuối cùng luôn là 0.

Phương án D: `S := 1; i := 1; while i <= 10 do begin S := S * i; i := i + 1; end;`
- Tương đương với phương án A về mặt logic, nhưng có thêm `begin` và `end;`. Tuy nhiên, nó không ảnh hưởng đến tính đúng sai của thuật toán vì chỉ có một lệnh trong vòng lặp.

Vì vậy, phương án A và D đều đúng, tuy nhiên do phương án A không có begin end nên không thực hiện được trong 1 số ngôn ngữ lập trình nên phương án D đúng hơn.

Đoạn code đưa ra một hàm đệ quy có tên là `Test` nhận một số nguyên `n` làm đầu vào. Hàm này tính toán giá trị dựa trên điều kiện: Nếu `n` bằng 0, nó trả về 1. Ngược lại, nó trả về `n` nhân với kết quả của việc gọi chính nó với tham số `n-1`.

Để hiểu rõ hơn, ta xét một vài ví dụ:

- Nếu `n = 0`, `Test(0)` trả về 1.
- Nếu `n = 1`, `Test(1)` trả về `1 * Test(0) = 1 * 1 = 1`.
- Nếu `n = 2`, `Test(2)` trả về `2 * Test(1) = 2 * 1 = 2`.
- Nếu `n = 3`, `Test(3)` trả về `3 * Test(2) = 3 * 2 = 6`.
- Nếu `n = 4`, `Test(4)` trả về `4 * Test(3) = 4 * 6 = 24`.

Như vậy, hàm `Test(n)` thực chất tính giai thừa của `n` (n!). Giai thừa của `n` là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến `n`. Điều này tương ứng với "Tích số của n số tự nhiên đầu tiên".